二次形式の平方完成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/09 03:01 UTC 版)
1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の n 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f ( a b c ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f\quad (abc\neq 0)} である。これは二次形式 ( x y ) ( a b 2 b 2 c ) ( x y ) + ( x y ) ( d e ) + f ( a b c ≠ 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}+f\quad (abc\neq 0)} の形で書ける。 一般の n 変数二次式は、A を対称行列として t x A x + t x b + c = t ( x − h ) A ( x − h ) + k ( h = − 1 2 A − 1 b , k = c − 1 4 t b A − 1 b ) {\displaystyle {}^{t}xAx+{}^{t}xb+c={}^{t}(x-h)A(x-h)+k\quad \left(h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b,\quad k=c-{\frac {1}{4}}{}^{t}bA^{-1}b\right)} で書ける。 A が対称でないときは h と k の式が h = − ( A + t A ) − 1 b , k = c − t h A h = c − t b ( A + t A ) − 1 A ( A + t A ) − 1 b {\displaystyle h=-(A+{}^{t}A)^{-1}b,\quad k=c-{}^{t}hAh=c-{}^{t}b\,(A+{}^{t}A)^{-1}A\,(A+{}^{t}A)^{-1}b} とやや一般になるが同じ式で書ける。
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