二次形式の判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 03:27 UTC 版)
標数 ≠ 2 の任意の体 K 上の二次形式 Q への substantive な一般化がある。標数 2 に対しては、対応する不変量は Arf invariant である。 二次形式 Q が与えられたとき、その判別式 (discriminant) または行列式 (determinant) は Q の対称行列 S の行列式である。 行列 A による変数の変換は対称形式の行列を A T S A {\displaystyle A^{T}SA} によって変え、この行列式は ( det A ) 2 det S {\displaystyle (\det A)^{2}\det S} なので、変数の変換の下で、判別式は 0 でない平方によって変化し、したがって判別式の類は K/(K*)2 において well-defined である、すなわち、0 でない平方を除いて定まる。平方剰余 も参照。 Less intrinsically, ヤコビによる定理によって、 K n {\displaystyle K^{n}} 上の二次形式は、変数の線型変換の後、 a 1 x 1 2 + ⋯ + a n x n 2 {\displaystyle a_{1}{x_{1}}^{2}+\cdots +a_{n}{x_{n}}^{2}} として対角形式 (diagonal form) において表現できる。より正確には、V 上の二次形式は和 ∑ i = 1 n a i L i 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{L_{i}}^{2}} として表現できる、ここで Li は独立な線型形式であり n は変数の数である（ai のいくつかは 0 でもよい）。すると判別式は ai の積であり、これは K/(K*)2 における類として well-defined である。 K=R、実数体に対して、(R*)2 は正の実数全体であり（任意の正数は 0 でない数の平方である）、したがって商 R/(R*)2 は 3 つの元、正、0、負を持つ。これは符号（英語版） (n0, n+, n−) よりも粗い不変量である。ただし n0 は対角形式における 0 の数であり n± は ±1 の数である。すると判別式は形式が退化 ( n 0 > 0 {\displaystyle n_{0}>0} ) であれば 0 であり、そうでなければ負の係数の数のパリティである、 ( − 1 ) n − . {\displaystyle (-1)^{n_{-}}.} K=C、複素数体に対して、(C*)2 は 0 でない複素数であり（任意の複素数は平方である）、したがって商 C/(C*)2 は 2 つの元、非零と零からなる。 この定義は二次多項式の判別式に一般化する。多項式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} を斉次化すると二次形式 a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}} になりこれは対称行列 [ a b / 2 b / 2 c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{bmatrix}}} をもちこの行列式は a c − ( b / 2 ) 2 = a c − b 2 / 4 {\displaystyle ac-(b/2)^{2}=ac-b^{2}/4} である。−4 の因子を除いてこれは b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} である。 実形式の判別式の類の不変量（正、0、負）は対応する円錐曲線楕円、放物線、双曲線に対応する。
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