はんべつ‐しき【判別式】
判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/02 04:00 UTC 版)
数学において、多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。
- ^ J. J. Sylvester (1851) "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants," Philosophical Magazine, 4th series, 2 : 391-410; Sylvester coins the word "discriminant" on page 406.
- ^ Gelfand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. p. 1. ISBN 3-7643-3660-9, Preview page 1
- ^ Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. p. 26. ISBN 3-540-24326-7, Chapter 1 page 26
- ^ 吾郷孝視、細尾敏男、田中隆一『線形代数問題集』（単行本）森北出版〈基礎数学問題集シリーズ1〉、1989年1月1日、40,41,134頁。ISBN 978-4627045101。
- ^ 二次方程式の一次項が偶数の時に簡便な計算方法として利用されるほか、コーシー＝シュワルツの不等式の一般解を二次式と判別式で証明する際などに利用されることがある。
- ^ Fanchi, John R. (2006), Math refresher for scientists and engineers, John Wiley and Sons, pp. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, Section 3.2, page 45
- ^ J.W.S. Cassels (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs. 13. Academic Press. p. 6. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029
判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
K の整基底 { ω 1 , … , ω n } {\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}\}} に対して、以下の形の行列式を考える。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) = | ω 1 ( 1 ) ω 2 ( 1 ) ⋯ ω n ( 1 ) ω 1 ( 2 ) ω 2 ( 2 ) ⋯ ω n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω 1 ( n ) ω 2 ( n ) ⋯ ω n ( n ) | {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})={\begin{vmatrix}\omega _{1}^{(1)}&\omega _{2}^{(1)}&\cdots &\omega _{n}^{(1)}\\\omega _{1}^{(2)}&\omega _{2}^{(2)}&\cdots &\omega _{n}^{(2)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(n)}&\omega _{2}^{(n)}&\cdots &\omega _{n}^{(n)}\end{vmatrix}}} 。 すると、 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} は整基底の取り方によらず一定の値である。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} を K の判別式（英語版） (discriminant)といい、 D K {\displaystyle D_{K}} で表す。 判別式の性質 任意の代数体 K に対して、判別式は 0 でない有理整数である。 ミンコフスキーの定理。有理数体と異なる代数体の判別式は、 ± 1 {\displaystyle \pm 1} と異なる。(つまり、 | D K | > 1 {\displaystyle |D_{K}|>1} となる。) エルミートの定理。任意の正数 N に対して、判別式の絶対値が N 以下の代数体は有限個しか存在しない。 シュティッケベルガーの定理。代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 D K ≡ 0 , 1 {\displaystyle D_{K}\equiv 0,\ 1} (mod 4) である。 n 次の代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 | D K | 1 / 2 ≥ n n n ! ( n 4 ) n / 2 {\displaystyle |D_{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {n}{4}}\right)^{n/2}} 。
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判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 07:27 UTC 版)
代数的数 α の共役数を α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}} とする。 D α = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j ) 2 {\displaystyle D_{\alpha }=\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}} を α の判別式 (discriminant) という。代数的数の判別式は有理数であり、代数的整数の判別式は有理整数である。0 でない代数的数の判別式は 0 ではない。
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判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 06:19 UTC 版)
詳細は「判別式」を参照 多項式 f(x) の根を α1, α2, ..., αn とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方 D f := ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j ) 2 {\displaystyle D_{f}:=\prod _{1\leq i
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