判別式とは? わかりやすく解説

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はんべつ‐しき【判別式】

読み方:はんべつしき

二次方程式ax2bxc=0について、その根の種類判別するためのDb2−4acという式。D正なら二つ実根、0ならば重根、負ならば二つ虚根をもつ。


判別式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/05/02 04:00 UTC 版)

数学において、多項式判別式(はんべつしき、: discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。


  1. ^ J. J. Sylvester (1851) "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants," Philosophical Magazine, 4th series, 2 : 391-410; Sylvester coins the word "discriminant" on page 406.
  2. ^ Gelfand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. p. 1. ISBN 3-7643-3660-9. https://academic.oup.com/blms/article-abstract/28/1/96/262195?redirectedFrom=fulltext , Preview page 1
  3. ^ Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. p. 26. ISBN 3-540-24326-7. https://books.google.co.jp/books?id=rSs-pQNrO_YC&redir_esc=y&hl=ja , Chapter 1 page 26
  4. ^ 吾郷孝視、細尾敏男、田中隆一『線形代数問題集』(単行本)森北出版〈基礎数学問題集シリーズ1〉、1989年1月1日、40,41,134頁。ISBN 978-4627045101 
  5. ^ 二次方程式の一次項が偶数の時に簡便な計算方法として利用されるほか、コーシー=シュワルツの不等式の一般解を二次式と判別式で証明する際などに利用されることがある。
  6. ^ Fanchi, John R. (2006), Math refresher for scientists and engineers, John Wiley and Sons, pp. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, https://books.google.co.jp/books?id=75mAJPcAWT8C&redir_esc=y , Section 3.2, page 45
  7. ^ J.W.S. Cassels (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs. 13. Academic Press. p. 6. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029 



判別式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)

代数体」の記事における「判別式」の解説

K の整基底 { ω 1 , … ,   ω n } {\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}\}} に対して、以下の形の行列式考える。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) = | ω 1 ( 1 ) ω 2 ( 1 ) ⋯ ω n ( 1 ) ω 1 ( 2 ) ω 2 ( 2 ) ⋯ ω n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω 1 ( n ) ω 2 ( n ) ⋯ ω n ( n ) | {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})={\begin{vmatrix}\omega _{1}^{(1)}&\omega _{2}^{(1)}&\cdots &\omega _{n}^{(1)}\\\omega _{1}^{(2)}&\omega _{2}^{(2)}&\cdots &\omega _{n}^{(2)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(n)}&\omega _{2}^{(n)}&\cdots &\omega _{n}^{(n)}\end{vmatrix}}} 。 すると、 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} は整基底取り方によらず一定の値である。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} を K の判別式(英語版) (discriminant)といい、 D K {\displaystyle D_{K}} で表す。 判別式の性質 任意の代数体 K に対して、判別式は 0 でない有理整数である。 ミンコフスキーの定理有理数体異な代数体の判別式は、 ± 1 {\displaystyle \pm 1} と異なる。(つまり、 | D K | > 1 {\displaystyle |D_{K}|>1} となる。) エルミート定理任意の正数 N に対して、判別式の絶対値が N 以下の代数体有限個しか存在しない。 シュティッケベルガーの定理代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対してD K ≡ 0 ,   1 {\displaystyle D_{K}\equiv 0,\ 1} (mod 4) である。 n 次の代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 | D K | 1 / 2 ≥ n n n ! ( n 4 ) n / 2 {\displaystyle |D_{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {n}{4}}\right)^{n/2}} 。

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判別式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/17 07:27 UTC 版)

代数的数」の記事における「判別式」の解説

代数的数 α の共役数を α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}} とする。 D α = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j ) 2 {\displaystyle D_{\alpha }=\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}} を α の判別式 (discriminant) という。代数的数の判別式は有理数であり、代数的整数の判別式は有理整数である。0 でない代数的数の判別式は 0 ではない。

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判別式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/01 06:19 UTC 版)

重根 (多項式)」の記事における「判別式」の解説

詳細は「判別式」を参照 多項式 f⁡(x) の根を α1, α2, ..., αn とし、その全体から作られる最簡交代式差積)の平方 D f := ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j ) 2 {\displaystyle D_{f}:=\prod _{1\leq i 0 であるので、実用上は分母を掃った b2 - 4ac を判別式として用いることが多い。

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