判別式とは? わかりやすく解説

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はんべつ‐しき【判別式】

読み方:はんべつしき

二次方程式ax2bxc=0について、その根の種類判別するためのDb2−4acという式。D正なら二つ実根、0ならば重根、負ならば二つ虚根をもつ。


判別式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/09/23 08:40 UTC 版)

数学において、多項式判別式(はんべつしき、: discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。

一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。

概要

"discriminant"(判別式)という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造り出された[1]

通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ で表記される。

具体的には、以下の式で定義される:

xn次式
anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0)
重複を含めた根α1, …, αn とすると、
この節の加筆が望まれています。 2008年12月

判別式は根たちの対称式である。その平方根(各冪の半分:ヴァンデルモンド多項式)を n変数の対称多項式の環 カテゴリ


判別式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)

代数体」の記事における「判別式」の解説

K の整基底 { ω 1 , … ,   ω n } {\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}\}} に対して、以下の形の行列式考える。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) = | ω 1 ( 1 ) ω 2 ( 1 ) ⋯ ω n ( 1 ) ω 1 ( 2 ) ω 2 ( 2 ) ⋯ ω n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω 1 ( n ) ω 2 ( n ) ⋯ ω n ( n ) | {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})={\begin{vmatrix}\omega _{1}^{(1)}&\omega _{2}^{(1)}&\cdots &\omega _{n}^{(1)}\\\omega _{1}^{(2)}&\omega _{2}^{(2)}&\cdots &\omega _{n}^{(2)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(n)}&\omega _{2}^{(n)}&\cdots &\omega _{n}^{(n)}\end{vmatrix}}} 。 すると、 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} は整基底取り方によらず一定の値である。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} を K の判別式(英語版) (discriminant)といい、 D K {\displaystyle D_{K}} で表す。 判別式の性質 任意の代数体 K に対して、判別式は 0 でない有理整数である。 ミンコフスキーの定理有理数体異な代数体の判別式は、 ± 1 {\displaystyle \pm 1} と異なる。(つまり、 | D K | > 1 {\displaystyle |D_{K}|>1} となる。) エルミート定理任意の正数 N に対して、判別式の絶対値が N 以下の代数体有限個しか存在しない。 シュティッケベルガーの定理代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対してD K ≡ 0 ,   1 {\displaystyle D_{K}\equiv 0,\ 1} (mod 4) である。 n 次の代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 | D K | 1 / 2 ≥ n n n ! ( n 4 ) n / 2 {\displaystyle |D_{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {n}{4}}\right)^{n/2}} 。

※この「判別式」の解説は、「代数体」の解説の一部です。
「判別式」を含む「代数体」の記事については、「代数体」の概要を参照ください。

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