はんべつ‐しき【判別式】
判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/23 08:40 UTC 版)
数学において、多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。
一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。
概要
"discriminant"（判別式）という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造り出された[1]。
通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ で表記される。
具体的には、以下の式で定義される：
-
x の n次式
- anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0)
-
の重複を含めた根を α1, …, αn とすると、
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この節の加筆が望まれています。判別式は根たちの対称式である。その平方根（各冪の半分：ヴァンデルモンド多項式）を n変数の対称多項式の環
カテゴリ
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判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
K の整基底 { ω 1 , … , ω n } {\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}\}} に対して、以下の形の行列式を考える。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) = | ω 1 ( 1 ) ω 2 ( 1 ) ⋯ ω n ( 1 ) ω 1 ( 2 ) ω 2 ( 2 ) ⋯ ω n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω 1 ( n ) ω 2 ( n ) ⋯ ω n ( n ) | {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})={\begin{vmatrix}\omega _{1}^{(1)}&\omega _{2}^{(1)}&\cdots &\omega _{n}^{(1)}\\\omega _{1}^{(2)}&\omega _{2}^{(2)}&\cdots &\omega _{n}^{(2)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(n)}&\omega _{2}^{(n)}&\cdots &\omega _{n}^{(n)}\end{vmatrix}}} 。 すると、 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} は整基底の取り方によらず一定の値である。 Δ ( ω 1 , … , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} を K の判別式（英語版） (discriminant)といい、 D K {\displaystyle D_{K}} で表す。 判別式の性質 任意の代数体 K に対して、判別式は 0 でない有理整数である。 ミンコフスキーの定理。有理数体と異なる代数体の判別式は、 ± 1 {\displaystyle \pm 1} と異なる。(つまり、 | D K | > 1 {\displaystyle |D_{K}|>1} となる。) エルミートの定理。任意の正数 N に対して、判別式の絶対値が N 以下の代数体は有限個しか存在しない。 シュティッケベルガーの定理。代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 D K ≡ 0 , 1 {\displaystyle D_{K}\equiv 0,\ 1} (mod 4) である。 n 次の代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 | D K | 1 / 2 ≥ n n n ! ( n 4 ) n / 2 {\displaystyle |D_{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {n}{4}}\right)^{n/2}} 。
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