判別式による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/21 23:27 UTC 版)
「コーシー＝シュワルツの不等式」の記事における「判別式による証明」の解説
実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、⟨x|y⟩ なる内積を考えるとき、t を実変数（あるいは任意の実定数）として 0 ≤ ⟨ x + t | ⟨ x , y ⟩ | y , x + t | ⟨ x , y ⟩ | y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + 2 | ⟨ x , y ⟩ | 2 t + | ⟨ x , y ⟩ | 2 ⟨ y , y ⟩ t 2 {\displaystyle 0\leq \langle x+t|\langle x,y\rangle |y,x+t|\langle x,y\rangle |y\rangle =\langle x,x\rangle +2|\langle x,y\rangle |^{2}t+|\langle x,y\rangle |^{2}\langle y,y\rangle t^{2}} は（内積の性質により）t の如何にかかわらず成立する t の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この t に関する二次式の判別式は半負定値（非正）でなければならない： ( | ⟨ x , y ⟩ | 2 ) 2 − ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ | ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ 0 {\displaystyle (|\langle x,y\rangle |^{2})^{2}-\langle x,x\rangle \langle y,y\rangle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq 0} これを整理してシュワルツの不等式を得る。 同じように二次式の判別式を用いる少し異なった証明がある：この証明では実数 t と絶対値 1 の複素数 λ について ⟨ x + λ t y | x + λ t y ⟩ {\displaystyle \langle x+\lambda ty|x+\lambda ty\rangle } に対して同様の議論を行い、 ( Re ⟨ x | λ y ⟩ ) 2 − ⟨ x | x ⟩ ⟨ y | y ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \left(\operatorname {Re} \langle x|\lambda y\rangle \right)^{2}-\langle x|x\rangle \langle y|y\rangle \leq 0} が導かれる。適当な λ について Re ⟨ x | λ y ⟩ = | ⟨ x | y ⟩ | {\displaystyle \operatorname {Re} \langle x|\lambda y\rangle =|\langle x|y\rangle |} となっているので定理の主張が得られる。
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