判別式が終結式を用いて表されることの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 03:27 UTC 版)
「判別式」の記事における「判別式が終結式を用いて表されることの証明」の解説
ここでは、文献に掲載されている方法により証明する。 （証明） ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}} = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 ∏ i , j ( i ≠ j ) ( α i − α j ) {\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})} = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 ∏ i = 1 n ∏ j ( j ≠ i ) ( α i − α j ) ⋯ ( 1 ) {\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (1)} f ( x ) = a n ∏ j = 1 n ( x − α j ) {\displaystyle f(x)=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n}(x-\alpha _{j})} f ′ ( x ) = a n ∑ k = 1 n ∏ j ( j ≠ k ) ( x − α j ) {\displaystyle f'(x)=a_{n}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq k)}(x-\alpha _{j})} f ′ ( α i ) = a n ∏ j ( j ≠ i ) ( α i − α j ) ⋯ ( 2 ) {\displaystyle f'(\alpha _{i})=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (2)} ここで、f'(x) = 0 の根を β1, …, βn−1 とする。 f ′ ( x ) = n a n ∏ j = 1 n − 1 ( x − β j ) {\displaystyle f'(x)=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(x-\beta _{j})} f ′ ( α i ) = n a n ∏ j = 1 n − 1 ( α i − β j ) ⋯ ( 3 ) {\displaystyle f'(\alpha _{i})=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (3)} (2) = (3) より、an ≠ 0 に注意して ∏ j ( j ≠ i ) ( α i − α j ) = n ∏ j = 1 n − 1 ( α i − β j ) ⋯ ( 4 ) {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})=n\prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (4)} (4) を (1) に代入すると、 ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 n n ∏ i , j ( α i − β j ) ⋯ ( 5 ) {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}n^{n}\prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (5)} ここで、終結式においてよく知られている、次の等式を使う。f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0) の根を α1, …, αn, g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 (bm ≠ 0) の根を β1, …, βm とすると、次が成り立つ： a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) = | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 | {\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}} （対角成分に an が m個、b0 が n個） この等式を f, f' に適用すると、 a n n − 1 ( n a n ) n ∏ i , j ( α i − β j ) {\displaystyle {a_{n}}^{n-1}(na_{n})^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})} = | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 | ⋯ ( 6 ) {\displaystyle ={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\quad \cdots \ (6)} (5), (6) より、 a n 2 n − 2 ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 {\displaystyle {a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}} = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 | ◼ {\displaystyle ={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\ \blacksquare }
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