二次体
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二次体
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d ≠ 1 {\displaystyle d\neq 1} を平方因子を持たない整数とし、K = Q、 L = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})} とすると、ガロア群 Gal(L/Q) は {±1} と同一視される。Q 上の L の判別式 Δ は、d ≡ 1 (mod 4) ならば d、そうでないならば 4d となる。従って、アルティン写像はΔ を割らないような素数 p にたいし p ↦ ( Δ p ) {\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)} と定義される。ここに ( Δ p ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)} はクロネッカーの記号（英語版）(Kronecker symbol)である。さらに具体的には、L/Q の導手は、Δ が正ならば (Δ)、負であれば (Δ)∞ であり、分数イデアル群 (n) 上のアルティン写像はクロネッカーの記号 ( Δ n ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right)} により与えられる。このことから、素数 p が L で分解するか否かは、 ( Δ p ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)} が 1 であるか、−1 であるかに従う。
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