多項式の判別式

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判別式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/23 08:40 UTC 版)

数学において、多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。

一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。

概要

"discriminant"（判別式）という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造り出された^[1]。

通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ で表記される。

具体的には、以下の式で定義される：

x の n次式

a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0)

の重複を含めた根を α₁, …, α_n とすると、

${\displaystyle D={a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})}$

この節の加筆が望まれています。 （2008年12月）

判別式は根たちの対称式である。その平方根（各冪の半分：ヴァンデルモンド多項式）を n変数の対称多項式の環 ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ カテゴリ