多項分布

統計学用語辞典

多項分布

　k 種類の事象が発生する確率をそれぞれ p1，p2， … ，pk（ Σ pi = 1 ）としたとき，n 回の試行によりそれぞれの事象が x1，x2， … ，xk（ Σ xi = n ）回おきる確率は次式で表される。

図 1．多項分布の概形

　多項分布の平均 E ( xi ) ，分散 V ( xi ) は
E ( xi ) = n pi，　V ( xi ) = n pi ( 1 - pi )
である。
　k = 2 のときは二項分布である。
　観察値を ni，期待値を mi = n pi（ i = 1，2， … ，k ）とし，mi，ni が十分大きいとき，変量 χ² = Σ ( ni - mi ) ² / mi は，近似的に自由度 k - 1 の χ² 分布に従う。

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多項分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/30 20:28 UTC 版)

多項分布

確率質量関数
累積分布関数
母数	試行回数 $n>0$（整数） 各試行の確率 $p_{1},\cdots ,p_{k}$ ( $\Sigma p_{i}=1$)
台	$x_{i}\in \{0,\cdots ,n\},\,\,\,\,i\in \{1,\cdots ,k\}$ $\Sigma x_{i}=n$
確率質量関数	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}{p_{1}}^{x_{1}}\cdots {p_{k}}^{x_{k}}$
期待値	$E[X_{i}]=np_{i}$
分散	$\operatorname {Var} [X_{i}]=np_{i}(1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
モーメント母関数	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}$
特性関数	$\left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}$ where $i^{2}=-1$

多項分布（たこうぶんぷ、英: multinomial distribution）は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。

二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個（k 個）の値をとり、それぞれの値をとる確率は p₁, …, p_k（すなわち、i = 1, …, k について p_i ≥ 0 であり、 $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}p_{i}=1$ が成り立つ）であり、n 回の独立した試行が行われる。確率変数 X_i は n 回の試行で i という数が出る回数を示す。X = (X₁, …, X_k) は n と p をパラメータとする多項分布に従う。

確率質量関数

多項分布の確率質量関数は次の通りである。

$f(x_{1},\cdots ,x_{k};n,p_{1},\cdots ,p_{k})={\begin{cases}{\dfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}&{\text{when }}\sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}=n\\[1ex]0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

ここで、x₁, …, x_k は負でない整数である。

属性

期待値は次の通り。

$\operatorname {E} [X_{i}]=np_{i}.$

共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。

$\operatorname {var} [X_{i}]=np_{i}(1-p_{i}).$

対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。

$\operatorname {cov} [X_{i},X_{j}]=-np_{i}p_{j}$

ここで、i ≠ j である。

共分散は全体として負となる。なぜなら、N が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。

これは、k × k の非負値定符号行列であり、行列の階数は k − 1 である。

対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。

$\rho [X_{i},X_{j}]=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}.$

この表現では標本サイズ n が出現しない点に注意されたい。

k個の要素それぞれは n と p_i（i 番目の要素に対応する確率）をパラメータとする二項分布となる。

多項分布のサポートは集合 $\{(n_{1},\cdots ,n_{k})\in \mathbb {N} ^{k}\mid n_{1}+\cdots +n_{k}=n\}$ である。その要素数は ${\binom {n+k-1}{k-1}}=\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle$ である（重複組合せ）。

関連する分布

• k = 2 の多項分布を二項分布と呼ぶ。
• ベイズ統計での多項の共役事前分布をディリクレ分布と呼ぶ。

関連項目

• 多項定理
• 壺問題

外部リンク

• 『多項分布の意味と平均，分散，共分散などの計算』 - 高校数学の美しい物語
• Discrete Probability Distribution - Multinomial Distribution

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多項分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/10/31 19:22 UTC 版)

「多項係数」の記事における「多項分布」の解説

多項係数の応用として、多項分布 は離散確率変数に関する確率分布である。