ベルヌーイ試行
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 09:06 UTC 版)
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青い線: 6面のサイコロを6回投げて、6（または任意の数字）が1度も出ない確率は33.5%である。n 回の試行で確率 1/n の事象が発生しない確率が、n が増加するにつれて0に近づいて行く様子が確認できる。
灰色の線: ヤッツィー（5個のサイコロを投げて全て同じ目になること）になる確率を50%にするためには、0.693 × 1296 ~ 898 回試行する必要がある。
緑色の線: ジョーカーを除いたトランプの山からカードを1枚引いて山に戻す試行を100回(= 1.92 × 52)繰り返したとき、エースを少なくとも1回引く確率は85.7%である。
確率論や統計学において、ベルヌーイ試行（ベルヌーイしこう、英語: Bernoulli trial）または二項試行（にこうしこう、英語: binomial trial）とは、取り得る結果が「成功」「失敗」の2つのみであり、各試行において成功の確率が同じであるランダム試行である[1]。この名前は、17世紀のスイスの数学者であるヤコブ・ベルヌーイにちなんで名付けられた。ベルヌーイは、1713年の著書『推測法』(Ars Conjectandi)でこの試行を分析した[2]。
ベルヌーイ試行の数学的形式化をベルヌーイ過程という。本項目ではベルヌーイ試行の基本的な概念を説明する。より高度な処理についてはベルヌーイ過程を参照のこと。
ベルヌーイ試行の結果は2つしかないため、以下のような「はい」か「いいえ」かで答えられる質問として組み立てることができる。
すなわち、結果の「成功」「失敗」とは単なるラベルであり、文字通りの意味として解釈されるべきではない。この場合の「成功」という用語は、道徳的な判断ではなく、結果が指定された条件に合致するかどうかを意味する。
より一般的には、特定の事象（結果の集合）についての任意の確率空間が与えられたとき、その事象が発生したかどうか（事象または余事象）に対応するベルヌーイ試行を定義できる。ベルヌーイ定義の例として、以下のものが挙げられる。
- コイントスをし、表が出たときを「成功」、裏が出たときを「失敗」とした場合。公正なコインを使用した場合、成功の確率は1/2である。この例の場合、取り得る結果は表・裏の2通りしかない。
- サイコロを振って、出た目が6のときを「成功」、それ以外の目が出たときを「失敗」とした場合。公正なサイコロを使用した場合、成功の確率は1/6である。この例の場合、取り得る結果は6通りで、「成功」の事象（6が出る）は1通り、余事象（6以外が出る）は5通りである。
- 世論調査を実施する際に、有権者をランダムに選択して、その有権者が今後の国民投票で「はい」と投票するかを確認する場合。
定義
取り得る結果が正確に2つである試行を繰り返し実施し、各試行が独立している場合、この試行をベルヌーイ試行という。結果のうちの1つを「成功」、それ以外の結果を「失敗」と呼ぶ。ここで、1回のベルヌーイ試行で成功する確率を 
ウィキメディア・コモンズには、ベルヌーイ試行に関連するカテゴリがあります。
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Bernoulli trials”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- “Simulation of n Bernoulli trials”. math.uah.edu. 2014年1月21日閲覧。
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ベルヌーイ試行
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:23 UTC 版)
「ジェフリーズ事前分布」の記事における「ベルヌーイ試行」の解説
表面 H {\displaystyle H} が出る確率が γ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \gamma \in [0,1]} 、裏 T {\displaystyle T} の出る確率が ( 1 − γ ) {\displaystyle (1-\gamma )} であるコインを考える。 ( H , T ) ∈ { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } {\displaystyle (H,T)\in \{(0,1),(1,0)\}} についてこれが出る確率は γ H ( 1 − γ ) T {\displaystyle \gamma ^{H}(1-\gamma )^{T}} で与えられる。パラメータ γ {\displaystyle \gamma } についてのジェフリーズ事前分布は p ( γ ) ∝ I ( γ ) = E [ ( d d γ log f ( x ∣ γ ) ) 2 ] = E [ ( H γ − T 1 − γ ) 2 ] = γ ( 1 γ − 0 1 − γ ) 2 + ( 1 − γ ) ( 0 γ − 1 1 − γ ) 2 = 1 γ ( 1 − γ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}p(\gamma )&\propto {\sqrt {I(\gamma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\gamma }}\log f(x\mid \gamma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {H}{\gamma }}-{\frac {T}{1-\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\gamma \left({\frac {1}{\gamma }}-{\frac {0}{1-\gamma }}\right)^{2}+(1-\gamma )\left({\frac {0}{\gamma }}-{\frac {1}{1-\gamma }}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {\gamma (1-\gamma )}}}\,.\end{aligned}}} これはアークサイン分布であり、また α = β = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =\beta =1/2} の時のベータ分布でもある。さらに、 もし γ = sin 2 ( θ ) {\displaystyle \gamma =\sin ^{2}(\theta )} ならば Pr [ θ ] = Pr [ γ ] d γ d θ ∝ 1 ( sin 2 θ ) ( 1 − sin 2 θ ) 2 sin θ cos θ = 2 . {\displaystyle \Pr[\theta ]=\Pr[\gamma ]{\frac {d\gamma }{d\theta }}\propto {\frac {1}{\sqrt {(\sin ^{2}\theta )(1-\sin ^{2}\theta )}}}~2\sin \theta \cos \theta =2\,.} つまり、 θ {\displaystyle \theta } についてのジェフリーズ事前分布は [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle [0,\pi /2]} 区間で一様である。同等に、 θ {\displaystyle \theta } は円全体 [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} で一様になる 。
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