確率質量関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/13 01:28 UTC 版)
確率質量関数（かくりつしつりょうかんすう、英: probability mass function, PMF）とは、確率論および統計学において、離散型確率変数にその値をとる確率を対応させる関数のことである[1]（単に確率関数ということもある）。
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- ^ Stewart, William J. (2011). Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press. p. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1
- ^ Probability Function at Mathworld
- ^ Kumar, Dinesh (2006). Reliability & Six Sigma. Birkhäuser. p. 22. ISBN 978-0-387-30255-3
- ^ Rao, S.S. (1996). Engineering optimization: theory and practice. John Wiley & Sons. p. 717. ISBN 978-0-471-55034-1
- 1 確率質量関数とは
- 2 確率質量関数の概要
- 3 実例
- 4 関連資料
確率質量関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/01 18:42 UTC 版)
詳細は「確率質量関数」を参照 離散確率分布のときに確率密度関数に対応する関数として確率質量関数 (probability mass function) がある。確率変数 X のとる値の集合が S = {x1, x2, …} だとすると確率質量関数は f X ( x i ) = P ( X = x i ) = P X ( { x i } ) {\displaystyle f_{X}(x_{i})=P(X=x_{i})=P_{X}(\{x_{i}\})} で定まる関数 fX のことである。日本語では確率関数とも略されるが、英語の probability function は意味が曖昧な言葉とされる。
※この「確率質量関数」の解説は、「確率分布」の解説の一部です。
「確率質量関数」を含む「確率分布」の記事については、「確率分布」の概要を参照ください。
確率質量関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 00:51 UTC 版)
r 回の失敗までに k 回の成功が起こる確率。これは、最初の
※この「確率質量関数」の解説は、「負の二項分布」の解説の一部です。
「確率質量関数」を含む「負の二項分布」の記事については、「負の二項分布」の概要を参照ください。
確率質量関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/22 02:11 UTC 版)
多項分布の確率質量関数は次の通りである。 f ( x 1 , ⋯ , x k ; n , p 1 , ⋯ , p k ) = { n ! x 1 ! ⋯ x k ! p 1 x 1 ⋯ p k x k when ∑ i = 1 k x i = n 0 otherwise. {\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{k};n,p_{1},\cdots ,p_{k})={\begin{cases}{\dfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}&{\text{when }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\[1ex]0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} ここで、x1, …, xk は負でない整数である。
※この「確率質量関数」の解説は、「多項分布」の解説の一部です。
「確率質量関数」を含む「多項分布」の記事については、「多項分布」の概要を参照ください。
確率質量関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 00:51 UTC 版)
n 個の確率変数 Xi (i ∈ {1, 2, …, n}) は、それぞれ独立で成功確率がそれぞれ p1, p2, …, pn であるベルヌーイ試行とする。すなわち、 X i ∈ { 1 , 0 } , P ( X i = 1 ) = p i , Pr ( X i = 0 ) = 1 − p i {\displaystyle X_{i}\in \{1,0\},\qquad P(X_{i}=1)=p_{i},\qquad \Pr(X_{i}=0)=1-p_{i}} とする。確率変数 X = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} は、このような n 回の試行のうちで成功した回数を表す確率変数である。k 回成功する確率は次のような和で表現される。 Pr ( X = k ) = ∑ A ∈ F k ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) {\displaystyle \Pr(X=k)=\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j})} ただし、Fk は {1, 2, …, n} から選べる全ての k要素部分集合の族である。例えば n = 3 なら、F2 = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} である。また Ac は A の補集合。すなわち A c = { 1 , 2 , 3 , … , n } ∖ A {\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\backslash A} である。 これが、定義から直接導かれるポアソン二項分布の確率質量関数である。Fk は n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} 要素を含み、この数は n とともに急速に増大するため、試行回数 n が小さい場合以外は実際にこの和を計算することは困難である。（例えば n = 30 のとき F15 は 1020 もの要素を含む）。幸いにも、 Pr ( X = k ) {\displaystyle \Pr(X=k)} を計算する非常に効果的な方法がある。1回も成功しない確率が分かれば、n 回成功の確率は次のようにして再帰的に計算できる。 Pr ( X = k ) = { ∏ i = 1 n ( 1 − p i ) , k = 0 1 k ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 Pr ( X = k − i ) T ( i ) , k > 0 {\displaystyle \Pr(X=k)=\left\{{\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}(1-p_{i}),\qquad k=0\\&{\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(X=k-i)T(i),\qquad k>0\\\end{aligned}}\right.} ただし、 T ( i ) = ∑ j = 1 n ( p j 1 − p j ) i {\displaystyle T(i)=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}} 。 他にも離散フーリエ変換を使う次のような計算も可能である。 Pr ( X = k ) = 1 n + 1 ∑ l = 0 n C l k ∏ m = 1 n ( 1 + ( C l − 1 ) p m ) {\displaystyle \Pr(X=k)={\frac {1}{n+1}}\sum _{l=0}^{n}C^{lk}\prod _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1){p_{m}}\right)} ただし、 C = exp ( − 2 i π n + 1 ) {\displaystyle C=\exp \left(-{\frac {2i\pi }{n+1}}\right)} である。 さらに他の方法も提案されている。
※この「確率質量関数」の解説は、「ポアソン二項分布」の解説の一部です。
「確率質量関数」を含む「ポアソン二項分布」の記事については、「ポアソン二項分布」の概要を参照ください。
- 確率質量関数のページへのリンク
