確率論的な証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:02 UTC 版)
「チェビシェフの不等式」の記事における「確率論的な証明」の解説
任意の実数確率変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マルコフの不等式から Pr(|Y| > a) ≤ E(|Y|)/a が得られる。この不等式に Y = (X − μ)2, a = (σk)2 を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。 また直接証明する方法もある。事象 A に対し IA が A の指示関数に従う確率変数である（つまり IA は A が起これば 1、そうでなければ 0）とする。すると Pr ( | X − μ | ≥ k σ ) = E ( I | X − μ | ≥ k σ ) = E ( I [ ( X − μ ) / ( k σ ) ] 2 ≥ 1 ) {\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})} ≤ E ( ( X − μ k σ ) 2 ) = 1 k 2 E ( ( X − μ ) 2 ) σ 2 = 1 k 2 {\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}} と証明される。
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