ベイズの定理とは?

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ベイズの定理

別名:ベイズ定理ベイズルールベイズ均衡
英語:Bayes' theoremBayes' lawBayes' rule

ある事象Xが起こる条件下で、別の事象Yの起こる確率求めるための計算式。イギリス数学者牧師であるトーマス・ベイズThomas Bayes)によって示された。

「ある事象Xが起こる条件下で、別の事象Yの起こる確率」のことを事後確率、または、条件付き確率といい、ベイズの定理はこの事後確率求めるための計算式である。

ベイズの定理は、次の恒等式で表すことができる。

P(Y|X)=P(X|Y)P(Y)/P(X)

ベイズの定理


 2 つの事象 A,B があるとき, ベイズの定理
を ベイズの定理 という。
 一般的には,B が r 個の排反事象分かれるとき,観察された事象 A の原因が Bi である確率は, ベイズの定理
となる。Pr{Bi} は 事前確率Pr{Bi | A} は 事後確率呼ばれる
 例えば,A が女性であること,Bi が学年i = 1,2,3,4 )としたとき,Pr{Bi | A} は,ランダム抽出し学生女子学生であるとわかったとき,その学生が Bi 学年である確率を表す。
表 1.ベイズの定理の導き
学年 男子 女子 合計 女子割合 学年割合 ベイズ確率
Pr{A | Bi} Pr{Bi∩A} Pr{Bi} Pr{Bi | A}
B1 90 36 126 36/126 36/510 126/510 0.2209
B2 76 45 121 45/121 45/510 121/510 0.2761
B3 87 43 130 43/130 43/510 130/510 0.2638
B4 94 39 133 39/133 39/510 133/510 0.2393
合計 347 163 510 Pr{A}=163/510

 事前にわかっている確率Pr{Bi}, Pr{A | Bi} だけでよい。
 事後わかった事実女子である” ということから,事後確率 Pr{Bi | A} を得ようとするのが問題趣旨である。
 2 年生女子である確率 Pr{B2 ∩ A} = 45 / 510 は,2 年生である確率 Pr{B2} = 121 / 5102 年生であるという条件付きでの女子である確率 Pr{A | B2} = 45 / 121用いて乗法定理の ( 2 ) 式から,
  Pr{B2 ∩ A}
  = Pr{B2} ・ Pr{A | B2}
  = 121 / 51045 / 121
  = 45 / 510  …… ( 4 )
である。
 女子であるという条件付きでの 2 年生である確率 Pr{B2 | A} は,乗法定理の ( 1 ) 式から,
  Pr{B2 | A}= Pr{B2 ∩ A}/ Pr{A}
であり,( 4 )式および,
  Pr{A}
  = Pr{B1 ∩ A} + Pr{B2 ∩ A} + PrB3 ∩ A} + PrB4 ∩ A}
  = 36 / 510 + 45 / 510 + 43 / 510 + 39 / 510
  = 163 / 510
であるから
  Pr{B2 | A}
  = ( Pr{B2} ・ Pr{A | B2})/ Pr{A}
  = (121 / 51045 / 121)/(163 / 510
  = 0.2761
となる。

ベイズの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/03/31 17:10 UTC 版)

ベイズの定理(ベイズのていり、: Bayes' theorem)とは、条件付き確率に関して成り立つ定理で、トーマス・ベイズによって示された。[要検証]






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