大数の法則

デジタル大辞泉

たいすう‐の‐ほうそく〔‐ハフソク〕【大数の法則】

読み方：たいすうのほうそく

確率論の基本法則の一。ある試行を何回も行えば、確率は一定値に近づくという法則。例えば、さいころを何回も振れば1の目の出る確率は6分の1に近づくなど。

自動車保険用語集

大数の法則

一見偶然に見える事象であっても、大量に観察されればその事象がある規則性をもって発生していることがわかります。例えば、サイコロを振って1の目の出る確率は、振る回数を増やせば増やすほど6分の1に近づいていきます。この法則を「大数の法則」といいます。保険料算出の基礎数値の一つである事故の発生率は、この大数の法則に立脚した統計的確率です。個々人にとっては偶発的な事故であっても、大量に観察することによってその発生率を全体として予測できるということになります。

※この「自動車保険用語集」の内容は、チューリッヒ保険会社が扱う保険の内容に即しております。

石油/天然ガス用語辞典

大数の法則

読み方： だいすうのほうそく
【英】: law of large numbers

ある種の試行に対して一定の事象が生起する確率が p であるとき、実際のn回の試行に対する事象生起回数 r の比 r/n と p との差は、n を大きくしていくにつれて確実に小さくなっていくことが数学的に証明されており、これを大数の法則という。少数の探鉱事業について試掘の成功率を比較するとまちまちであるが、広い地域内の多数の試掘の成功率は年々ほぼ一定値になるのも大数の法則にのっとっていると見なされ、試掘の成功を確率的事象として取り扱う根拠となっている。

OR事典

大数の法則

読み方：たいすうのほうそく
【英】：law of large numbers

互いに独立な確率変数列 があり, 平均 は一定で有限とする. の算術平均 が1点 に概収束または確率収束するとき, それぞれ大数の強法則, 大数の弱法則が成立するという. 分布が同一の場合はどちらも成立する.

「OR事典」の他の用語

確率と確率過程：

在庫モデル  多次元分布  多次元正規分布  大数の法則  定常分布  定常過程  密度関数

ウィキペディア

大数の法則

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確率論
コルモゴロフの公理
確率空間 標本空間 根元事象 事象 確率変数 確率測度
排反 同時分布 周辺分布 条件付き確率
独立 条件付き独立 全確率の法則 大数の法則 ベイズの定理 ブールの不等式
ベン図 樹形図
表 話 編 歴

サイコロ投げの試行回数を限りなく増やすと、出た目の標本平均は平均に収束する。

大数の法則（たいすうのほうそく、英: Law of Large Numbers, LLN、仏: Loi des grands nombres^{[注釈 1]}）とは、確率論・統計学における基本定理の一つ。公理的確率により構成される確率空間の体系は、統計学的確率と矛盾しないことを保証する定理である。

たとえばサイコロを振り、出た目を記録することを考える。この試行回数を限りなく増やせば、出た目の標本平均が目の平均である 3.5 の近傍から外れる確率はいくらでも小さくなる。これは大数の法則から導かれる帰結の典型例である。より一般に、大数の法則は「独立同分布に従う可積分な確率変数列の標本平均は平均に収束する」と述べられる。

厳密には、大数の法則は収束をどのようにとらえるかに応じて、ヤコブ・ベルヌーイによる大数の弱法則 (WLLN: Weak Law of Large Numbers) と、エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数の強法則 (SLLN: Strong Law of Large Numbers) の2つに大別される。単に「大数の法則」と言った場合、どちらを指しているのかは文脈により判断する必要がある。

具体例

多数のコインを投げたときの表（赤）と裏（青）の出た頻度（左）と円グラフで表した比率（右）。

試行において事象が起こる公理的確率を p とする。さらに、この試行を反復しても、各結果の起こりやすさは変化しない（他の結果に影響を及ぼすことがない）ものとする^{[注釈 2]}。この仮定の下で、試行における事象の（起こる）確率は、試行回数を限りなく増やしていったときの、その事象の頻度（発生回数の相対度数）の極限値（統計的確率あるいは経験的確率）はほとんど確実に p に等しくなる。これは大数の法則から導かれる重要な帰結の一つであり、上記の仮定の下で統計的確率は公理的確率に等しいことの数学的な根拠を与える。

たとえばコイントス、特に公正なコイン（ゆがみや偏りがない、完全に対称なコイン）を投げて出た面を記録する試行を行うとする。このとき、表が出る確率と裏が出る確率は等しいと考えられるためともに 1/2 である確率空間になる。このとき、コイン投げの試行回数を限りなく増やすと、表が出る回数と裏が出る回数の比率はどちらも 1/2 に近づく。実際には、試行回数が有限では、各頻度が完全に 1/2 になることはほぼないが、極限値としては各頻度が 1/2 に収束する。これが大数の法則の主張である。

試行の回数を時刻と見たとき、時刻無限大の極限において時間平均が相平均に一致するという意味で、エルゴード理論の最も単純な数学的定式化（エルゴード定理）のうちの一つであるといえる。

数学的定式化

独立同分布に従う可積分な確率変数の無限列 X₁, X₂, … が与えられたとき、その平均を μ とおく。標本平均

${\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad (n\geq 1)}$

標準コーシー分布に従う独立な標本の平均が取る値の推移例。

大数の法則は（有限な）期待値の存在を仮定している。期待値の存在しない場合は、大数の法則が当てはまらないことがある。例えば安定分布における特性指数が α ≤ 1 の場合（例：コーシー分布）である。また、大数の法則が成立するためには事象の独立性が保証されなければならない。

脚注

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注釈

1. ^ この名前はシメオン・ドニ・ポアソンに由来する。
2. ^ つまり、独立にベルヌーイ分布に従う確率変数列が与えられた場合を例として考える。
3. ^ つまり ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$ カテゴリ

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大数の法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/26 11:21 UTC 版)

「集団選挙区制」の記事における「大数の法則」の解説

デレック・ダ・クンハは大数の法則が集団選挙システムを支持することを提案しました。理論によれば、集団選挙区からの多数の有権者は、必ずしも常にではありませんが、一般的に人気投票を反映しています。これは2006年の選挙で明らかであり、PAPは争われた集団選挙で平均67.04％の票を獲得しましたが、小選挙区では平均61.67％でした。 2006年の選挙の全国平均は66.6％でした。前回の選挙でも同様の傾向が見られます。ギャップは1991年の3％から拡大し、 1997年、2001年、2006年の選挙では約5％で安定していました。これは、1997年に大数の法則により大きな影響を与えた集団選挙区のサイズの拡大に起因する可能性があります。

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「大数の法則」の例文・使い方・用例・文例

• 大数の法則には、強法則と弱法則の2種類がある。