算術平均

デジタル大辞泉

さんじゅつ‐へいきん【算術平均】

読み方：さんじゅつへいきん

⇒相加(そうか)平均

人口統計学辞書

算術平均

人口学でもっとも頻繁に用いられる平均 ¹は算術平均 ²であって、一連の指標に関する数量の合計をその生起回数で割った商から成っている。平均という言葉が何かの限定を付けずに用いられる場合は通常、算術平均を意味する。幾何平均 ³は、全観測値が正の場合に用いられることがある。これはN個の数値の積のN乗根である。加重平均 ⁴は個々の数量にそれぞれ違った特定の重み ⁵を乗ずることにより求められる。中央値（中位数、メディアン） ⁶は一組 ⁷の観測データを大きさの順に並べた時にちょうど中央に位置するデータの値である。最頻値（モード） ⁸は一連の観測値の中で最も普通でありよく用いられる値である。

• 1. 平均average（名）：形容詞としても用いることができる。
  平均mean（名）：形容詞としても用いることができる。
• 5. 重みweight（名）：加重する（重みづけする）weigh（動）。
• 6. 中央値（中位数、メディアン）median（名）（訳注）：形容詞としても用いることができる。
  （訳注）日本語の場合、名詞としては中央値、形容詞的用法としては中位数という言葉が用いられる傾向がある。たとえば、年齢中央値と中位数年齢は同じものを指す。
• 8. 最頻値（モード）mode（名）；最頻値のmodal（形）。

分子生物学用語集

算術平均

もっとも一般的に用いられ、単に「平均」と呼ばれる場合には単純算術平均を表すことが多い。

単純算術平均

単純に数値の合計を数値の個数で割った値

<m 16>m~=~1/n~sum{}{}{x_i}</m>

例

	A
1	109
2	98
3	140
4	192

<m 16>m~=~(109+98+140+192)/4~=~134.75</m>

Excelで計算するには、別のセルに=AVERAGE(A1:A4)と入力する。

加重算術平均

データの数値に重みをかけた和を数値の個数で割った値

<m 16>m~=~1/n~sum{}{}{a_i}{x_i}~=~134.75</m>

例

	A	B
1	109	2
2	98	1
3	140	8
4	192	9

<m 16>m~=~(109*2+98*1+140*8+192*9)/(2+1+8+9)~=~139.75</m>

Excelで計算するには、別のセルに=SUMPRODUCT(A1:B4)/4と入力する。
（SUMPRODUCT関数は、指定した2列で<m>sum{}{}{a_i}{x_i}</m>を計算する関数。）

幾何平均

データの倍率の平均を取る場合には、幾何平均を使う。

<m 16>m~=~root{n}{sum{}{n}{x_i}}</m>

例

ある測定値が120%, 150%, 280%と大きくなる場合の、「平均の伸び率」を計算する。

	A
1	120
2	150
3	280

<m 16>m~=~root{3}{120*150*280}~=~171.453…</m>

Excelで算出する場合は、別のセルに=POWER(PRODUCT(A1:A3),1/3)と入力する。
POWER関数は、累乗を行うので、1/2で累乗すれば平方根、1/3で累乗すれば立方根が得られる。
また、PRODUCT(A1:A3)は、A1からA3までをすべて掛けた値が得られる。

調和平均

調和平均は、データの個数をデータの逆数の和で割った値。

<m 16>m~=~n~1/sum{}{n}{1/x_i}</m>

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ウィキペディア

算術平均

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/05/02 04:31 UTC 版)

算術平均（さんじゅつへいきん、英: arithmetic mean）または相加平均（そうかへいきん）とは、平均の一種であり、有限個の数値の総和をその個数で割って得られる値である。日常語の「平均」は、多くの場合この算術平均を指す。

算術平均は、統計学における最も基本的な代表値の一つであり、数学、確率論、自然科学、社会科学など広い分野で用いられる。確率論では、等確率な有限個の値に対する期待値に対応する。

一方で、算術平均は外れ値の影響を受けやすく、分布の形によってはデータの中心を適切に表さないことがある。そのため、文脈によっては中央値、最頻値、加重平均、切断平均などと併用される。

定義

有限個の実数

$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$

の算術平均 ${\bar {a}}$ は、

${\bar {a}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

で定義される。ただし $n$ は正の整数である。

これは

${\bar {a}}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

と書いても同じである。例えば 3, 5, 10 の算術平均は

${\frac {3+5+10}{3}}=6$

である。

統計学における位置づけ

統計学では、観測値

$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

の標本平均は

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

で表される。これに対し、母集団全体の平均である母平均は通常 $\mu$ で表される。

標本平均は母平均を推定する基本的な統計量であり、記述統計学だけでなく推計統計学においても重要である。

確率論との関係

確率変数 $X$ の平均は、通常その期待値として理解される。離散型確率変数が値 $x_{1},x_{2},\dots$ を確率

$P(X=x_{i})$

でとるとき、期待値は

$E[X]=\sum _{i}x_{i}P(X=x_{i})$

で与えられる。

有限個の値がすべて等しい確率で現れる場合、この期待値は算術平均に一致する。したがって、算術平均は期待値の最も基本的な特殊例とみなすことができる。

基本性質

偏差の総和が 0 になる性質

算術平均 ${\bar {a}}$ に対し、各値との差

$a_{k}-{\bar {a}}$

を偏差という。このとき

$\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-{\bar {a}})=0$

が成り立つ。

二乗偏差和を最小にする性質

実数 $x$ に対して

$\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-x)^{2}$

を考えるとき、この値を最小にする $x$ は算術平均 ${\bar {a}}$ である。これは、算術平均が最小二乗法の最も基本的な場合に対応することを示している。

線形性

任意の実数 $c,d$ に対して

${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(ca_{k}+d)=c{\bar {a}}+d$

が成り立つ。したがって、すべての値に同じ数を加えれば平均も同じだけ増加し、すべての値を同じ定数倍すれば平均も同じ定数倍される。

取り得る範囲

有限個の実数の算術平均は、常にその最小値以上最大値以下である。

標本平均の理論

互いに独立で同一の期待値 $\mu$ をもつ確率変数

$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$

に対し、標本平均

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

の期待値は

$E[{\bar {X}}]=\mu$

となる。したがって標本平均は母平均の不偏推定量である。

さらに、各 $X_{i}$ の分散が $\sigma ^{2}$ であれば、

$\operatorname {Var} ({\bar {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

が成り立つ。したがって、標本平均の標準偏差、すなわち標準誤差は

${\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

となる。

また、大数の法則は、独立な反復観測の回数が増えるにつれて標本平均が母平均に近づくことを述べる。さらに中心極限定理によれば、標本数が十分大きいとき、標本平均の分布は近似的に正規分布に従う。

加重平均との関係

各値に重み

$w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$

を与えたとき、加重平均は

${\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}}}$

で定義される。すべての重みが等しい場合、加重平均は算術平均に一致する。

加重平均は、観測値の頻度や重要度が等しくない場合に用いられる。たとえば、度数分布表から平均を求めるときには、各値または階級値に度数を重みとして与えることになる。

測定科学や試験所間比較では、各測定値の不確かさが異なるため、単純な算術平均ではなく加重平均が用いられることがある。

他の代表値との比較

算術平均は最も一般的な中心の尺度であるが、外れ値の影響を強く受ける。極端な値が含まれる場合には、中央値の方がデータの中心をより適切に表すことがある。

また、増加率・倍率・比率を扱う場面では、幾何平均や調和平均の方が理論的に適切となることがある。平均の選択は、データの性質と分析目的に依存する。

度数分布表からの算出

値 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}$ がそれぞれ度数 $f_{1},f_{2},\dots ,f_{k}$ をもつとき、算術平均は

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}f_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{k}f_{i}}}$

と表せる。これは度数を重みとみなした加重平均である。連続量を階級に分けた度数分布表では、各階級の階級値を用いて平均を近似的に求める。

測定と誤差論における位置づけ

反復測定の結果を一つの値に要約する方法として、算術平均は古くから重視されてきた。Ku は、反復測定値の算術平均を ${\bar {x}}$ と表し、その標準誤差を単一測定の標準偏差の $1/{\sqrt {n}}$ 倍として説明している。

もっとも、測定値に系統誤差が含まれる場合、平均をとるだけでは偏りは除去されない。したがって、算術平均は誤差処理の基本ではあるが、校正や不確かさ評価と切り離して扱うことはできない。

歴史

Churchill Eisenhart は、平均概念の歴史を、古代・中世・近世・近代の観測値処理の文脈に分けて跡づけている。目次上でも、古代から17世紀までの状況、midrange から arithmetic mean への展開、さらに 16–17 世紀の “Arithmetically meane” の成立過程が区分されている。

ただし、古代から近世にかけて用いられた「平均」に相当する概念は一様ではなく、現代的な意味での算術平均の定義がそのまま共有されていたわけではない。Eisenhart 自身も、初期史料の解釈には慎重さが必要だとしている。

参考文献

• “Arithmetic mean”. Encyclopædia Britannica.
• “Mean”. Encyclopædia Britannica.
• “Probability distribution”. Encyclopædia Britannica.
• “Sample mean”. Encyclopædia Britannica.
• “Law of large numbers”. Encyclopædia Britannica.
• “Strong law of large numbers”. Encyclopædia Britannica.
• “The central limit theorem”. Encyclopædia Britannica.
• “Weighted arithmetic mean”. Encyclopædia Britannica.

• Introductory Business Statistics 2e. OpenStax. (2023). https://assets.openstax.org/oscms-prodcms/media/documents/Introductory_Business_Statistics_2e_-_WEB.pdf 

• Principles of Data Science. OpenStax. (2023). https://assets.openstax.org/oscms-prodcms/media/documents/Principles-of-Data-Science-WEB.pdf 

• Introductory Statistics 2e. OpenStax. (2023). https://assets.openstax.org/oscms-prodcms/media/documents/Introductory_Statistics_2e_-_WEB.pdf 

• Ku, Harry H. (1965). An Introduction to the Statistical Treatment of Measurement Data. National Bureau of Standards. https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/Legacy/RPT/nbsreport8677.pdf 

• Rukhin, Andrew L. (2009). “Weighted Means Statistics in Interlaboratory Studies”. Metrologia 46 (3): 323–331. https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=901445. 

• Taylor, John R. (1997). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2nd ed.). University Science Books 

• Eisenhart, Churchill (1967). The Development of the Concept of the Best Mean of a Set of Measurements from Antiquity to the Present Day. American Statistical Association. https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/eisenhart.pdf 

関連項目

• 平均
• 代表値
• 中央値
• 最頻値
• 加重平均
• 切断平均
• 幾何平均
• 調和平均
• 相加相乗平均の不等式
• 期待値
• 標本平均
• 大数の法則
• 中心極限定理
• 最小二乗法
• 標準誤差
• 要約統計量

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算術平均

出典:『Wiktionary』 (2021/08/22 00:19 UTC 版)

名詞

算術平均（さんじゅつへいきん）

1. データの各数値を全て足し合わせ、データの総数で割った値。データが n 個存在し、データのそれぞれの値が x₁, x₂, ..., x_n であるとき、${/displaystyle {/frac {x_{1}+x_{2},/ ...,+x_{n}}{n}}={/frac {1}{n}}/sum _{i=1}^{n}x_{i}}$から得られる値。

用法

• 単に「平均」という場合、算術平均を指していることが多い。

類義語

• 相加平均

翻訳

• 英語: arithmetic mean

Weblio日本語例文用例辞書

「算術平均」の例文・使い方・用例・文例

• 配布の中間からの逸脱の絶対値の算術平均
• 逆数の算術平均の逆数として表されるn個の数字の平均
• (数学で)算術平均という平均値