算術幾何平均
算術幾何平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 03:37 UTC 版)
詳細は「算術幾何平均」を参照 a0, b0 を、a0 > b0 を満たす2つの非負実数とする。a1, a2, …; b1, b2, … を a i + 1 = a i + b i 2 {\displaystyle a_{i+1}={\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}} b i + 1 = a i b i {\displaystyle b_{i+1}={\sqrt {a_{i}b_{i}}}} により定義する。このとき、 lim i → ∞ a i = lim i → ∞ b i {\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=\lim _{i\to \infty }b_{i}} を a0 と b0 の算術幾何平均という。
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算術幾何平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 01:01 UTC 版)
「ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム」の記事における「算術幾何平均」の解説
二つの数 a 0 , b 0 {\displaystyle a_{0},b_{0}} の算術幾何平均とは、数列 a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\ b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}} の極限のことである。両数列は同一の極限値を持つ。 a 0 = 1 , b 0 = cos φ {\displaystyle a_{0}=1,\ b_{0}=\cos \varphi } のとき、算術幾何平均は π 2 K ( sin φ ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2K(\sin \varphi )}}} となる。ここで、 K ( k ) {\displaystyle K(k)} は第一種完全楕円積分である。また、 c 0 = sin φ {\displaystyle c_{0}=\sin \varphi } かつ c i + 1 = a i − a i + 1 {\displaystyle c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}} なる数列について、 ∑ i = 0 ∞ 2 i − 1 c i 2 = 1 − E ( sin φ ) K ( sin φ ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}{c_{i}}^{2}=1-{\frac {E(\sin \varphi )}{K(\sin \varphi )}}} が成立する。ここで、 E ( k ) {\displaystyle E(k)} は第二種完全楕円積分である。 ガウスはこれらの結果を知っていたとされる。
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