マチンの公式
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マチンの公式（英: Machin's formula）とは、1706年にイギリスの天文学者ジョン・マチンによって発見された逆正接関数 arctan x を用いた円周率を計算するための公式、すなわち
- ^ マチン・シムソンの論文 I.Tweddle(1991), John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent series for π, Arch. Hist. Exact Sci. の42,p.1~14による。
マチンの公式
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π 4 = arctan 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1} π 4 = arctan 1 2 + arctan 1 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}} π 4 = 2 arctan 1 2 − arctan 1 7 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}} π 4 = 2 arctan 1 3 + arctan 1 7 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}} π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} （マチンの公式） π 4 = 5 arctan 1 7 + 2 arctan 3 79 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}} π 4 = 6 arctan 1 8 + 2 arctan 1 57 + arctan 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}} π 4 = 12 arctan 1 49 + 32 arctan 1 57 − 5 arctan 1 239 + 12 arctan 1 110443 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}} π 4 = 44 arctan 1 57 + 7 arctan 1 239 − 12 arctan 1 682 + 24 arctan 1 12943 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}} π 2 = ∑ n = 0 ∞ arctan 1 F 2 n + 1 = arctan 1 1 + arctan 1 2 + arctan 1 5 + arctan 1 13 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots } ただし F n {\displaystyle F_{n}} はn番目のフィボナッチ数。
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マチンの公式
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「マチンの公式」および「en:Machin-like formula」も参照 π 4 = 4 cot − 1 ( 5 ) − cot − 1 ( 239 ) . {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(239).} マチンの公式はグレゴリー - ライプニッツ級数 (ライプニッツの公式として知られる) π 4 = arctan ( 1 ) = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ , {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left(1\right)=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,} の変種であり、この新しい公式によって、ライプニッツの公式などに比べて非常に収束が速くより実用的な計算公式が作られるようになった。 マチンは円周率 π の計算をするために、自身の公式からハレー法を用いて近似解を得た。マチンの公式はその後、数世紀に渡って、計算機の時代まで、円周率探求家達の基本的な道具として用いられ続けた。 マチンの公式と類似の公式も様々なものが知られている。
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