円周率の歴史とは？わかりやすく解説

本記事では、数学定数のひとつである円周率の歴史（えんしゅうりつのれきし）について詳述する。

円周率 $π$ は無理数であるため、小数部分は循環せず無限に続く。さらに、円周率 $π$ は超越数でもあるため、その連分数表示は循環しない。その近似値は何千年にも亘り世界中で計算されてきた。

凡例

[学]：数学的事実に関する発見・論争等
[法]：計算法の考案・改良等
[値]：計算・値の使用
[値]（桁数）：計算・値の使用（小数点以下の桁数の記録）
[文]：文化・社会

年表

級数の発見前　— 13世紀まで —

紀元前2000年頃: [値] (2) 1936年にスーサで発見された粘土板などから、古代バビロニアでは、正六角形の周と円周を比べ、円周率の近似値として $3$ や $3+ 1 / 7 = 22 / 7$ , $3+ 1 / 8$ などが使われたと考えられている^[1]。
紀元前1650年頃: [学][値] 既に、古代エジプトでは、円周と直径の比の値と、円の面積と半径の平方の比の値が等しいことは知られていた。神官アハメスが書き残したリンド・パピルスには、円積問題の古典的な解法の一つが記されており、円の直径からその $1 / 9$ を引いた長さを一辺とする正方形の面積と、元の円の面積が等しいとしている^[2]。これは、円周率を近似的に $256 / 81$ とみなすことに相当し^[2]、それなりに精度の高い近似値であったが普及はしなかった。リンド・パピルスはアハメスによって写されたものであり、内容自体はさらに紀元前1800年頃にまで遡ると考えられている^[3]。
紀元前5世紀頃: [学] アナクサゴラスが、アポロンへの不敬罪で投獄されている間に、円積問題に取り組んだ^[4]。; [法] ヘラクレアのアンティフォンは、円に内接する正多角形の面積を求めることにより円周率を計算する方法を編み出した。アンティフォンは、それぞれの正多角形から正方形が作図できることから、円積問題が解決できると主張した^[5]。; [値] すぐに、同じヘラクレアのブリソン（英語版）が、外接する正多角形の面積を求めて内側と外側の両方から円の面積を評価し近似値を得た。
紀元前3世紀: [法][値] アルキメデスは、円の面積が円周率と半径の平方の積に等しいことを証明した^[6]。さらに、3の平方根の最良近似分数 $265 / 153$ および $1351 / 780$ ( $265 / 153 < \sqrt 3 < 1351 / 780$ ) を利用して、円に外接および内接する正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形、正九十六角形の辺の長さの上界および下界をそれぞれ計算することにより $3 + 10 / 71 < π < 3 + 1 / 7$ を求めた^[7]。小数だと $3.14084 < π < 3.14286$ である^[8]。
1世紀: [値] ローマ帝国の著名な建築家ウィトルウィウスは、 $25 / 8$ を使った。素数の $7$ よりも、 $2$ の $3$ 乗である $8$ で割ったほうが建築には便利だったためである。小数だと $3.125$ である^[9]。
2世紀: [値] 天文学者プトレマイオスは $377 / 120$ を使った。小数だと約 $3.1417$ である^[10]。; [値] 後漢の太史令だった張衡は、円に外接する正方形の周と円周を比べ、円周率を $\sqrt 10$ とした。約 $3.162$ になる^[11]^[12]。
3世紀: [値] 呉の王蕃は $142 / 45$ を用いた。約 $3.1555$ である^[13]。
263年: [値] (3) 魏の劉徽は『九章算術』の注釈の中で、ブリソンと同様の方法を用い $3.14 + 64 / 62500 < π < 3.14 + 169 / 62500$ であることを示している（これは後に徽率として知られるようになった）。小数では $3.14102 4 < π < 3.14270 4$ である。さらに正 $3072$ 角形を用いて、 $3.14159$ という近似値も得た^[14]^[13]^[15]。なお小数は紀元前の中国で発明され、欧州に伝播したのは16世紀である。よって中国以外では分数によるのみであり、小数での記載はずっと後のことである。
5世紀: [値] (6) 7世紀に編纂された隋書律暦志^[16]によると、天文学者の祖沖之は、当時としては非常に正確な評価 $3.14159 26 < π < 3.14159 27$ を示した。以後1000年、これ以上正確な計算はなされず、ヨーロッパでこれほど正確な評価を得るには16世紀まで待たねばならない。さらに、分数での近似値 $22 / 7$ （ $3. 142857 \dots$ ）と $355 / 113$ （約 $3.14159 29$ ）を与えている^[17]^[18]。正確な方法は伝わっていないが、九章算術の方法を踏襲したと推測すると、上記の結果を得るには少なくとも円に内接する正 $24576$ 角形の辺の長さを計算しなければならない（ただし、 $355 / 113$ については置閏法において用いた近似法から算出したと考えられている^[19]）。隋書では現代と同じ「圓周率」という語が用いられている。祖沖之の息子の祖暅（そこう）は、父とともに球の体積の計算方法を導き出したことで知られる^[20]。
500年頃: [値] インドのアリヤバータは、円に内接する正 $n$ 角形と正 $2 n$ 角形の周の長さの間に成り立つ関係式を求め、正 $384$ 角形の周の長さから $\sqrt 9.8684$ ( $≒ 3.14156$ ) と求めた。この平方根の近似値として $3927 / 1250$ ( $= 3.1416$ ) を与えた^[21]。
650年頃: [値] インドのブラーマグプタは、正 $12$ 角形、正 $24$ 角形、正 $48$ 角形、正 $96$ 角形の周の長さから、 $n$ が大きくなるにつれ正 $3 \times 2 n$ 角形の周の長さは $\sqrt 10$ に近づくとし、これを円周率とした^[22]。

1220年: [値] イタリアのレオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド）が円周率を $864 / 275$ と計算した。これは、約 $3.1418$ である^[23]。

幾何から解析へ　— 14世紀から20世紀前半 —

「円に内接・外接する多角形に基づく近似」なる幾何学的な考察から「級数を利用した近似」なる解析的な考察への移行は、インドでは1400年頃から1500年代に、ヨーロッパでは1600年代に、日本では1700年代に起きた。

14世紀

1400年頃

インド南西部（現在のケーララ州）では天文学・数学が花開き、当時の世界最先端の研究が行われた。ケーララ学派と総称される学者たちは、三角関数・逆三角関数（正弦、余弦、逆正接）のマクローリン展開を天文計算に利用した^[24]。これらの級数はニーラカンタ（英語版）の時代には既に知られており、ニーラカンタの発見とされることがある^[25]^[26]。しかし、ニーラカンタの天文学書『アールヤバティーヤ・バーシャ』^[27]によると、正弦のマクローリン級数の展開式は彼より前の時代の学者の業績であるという。その学者とは、サンガマグラーマ（現：イリンジャラクダ）のマーダヴァである。以下の式も、マーダヴァの発見とされることが多い^[24]^[28]：