精度保証付き数値計算

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精度保証付き数値計算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/15 06:24 UTC 版)

ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
範囲 自然科学 工学 天文学 物理学 化学 生物学 地質学 応用数学 連続体力学 カオス理論 力学系 社会科学 経済学 個体群動態論
分類
タイプ 常 偏 微分代数 積分微分 分数階 線型 非線形 変数のタイプにより 独立変数と従属変数 自律微分方程式 複素 Coupled / Decoupled 完全 斉次 / 非斉次 特徴 階数 作用素 記法
過程との関係 差分 (離散類似) 確率 確率偏 遅延
解
一般的な話題 ピカール＝リンデレーフの定理 コーシー＝コワレフスカヤの定理 ペアノの存在定理 ロンスキアン Phase portrait 相空間 リャプノフ / 漸近安定性 / 指数安定性 収束率 級数 / 積分解 数値積分 ディラックのデルタ関数
解法 Inspection 特性曲線法 広田の方法 常微分方程式の数値解法 オイラー ルンゲ・クッタ 線型多段法 狙い撃ち法 偏微分方程式の数値解法 有限差分 (クランク・ニコルソン) 有限要素 有限体積 ガレルキン 可積分アルゴリズム 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 積分因子 積分変換 摂動論 変数分離 未定係数
人物 (海外) アイザック・ニュートン レオンハルト・オイラー エミール・ピカール ユゼフ・マリア・ハーネー＝ウロンスキー エルンスト・リンデレフ ルドルフ・リプシッツ オーギュスタン＝ルイ・コーシー ジョン・クランク フィリス・ニコルソン カール・ルンゲ マルティン・クッタ ソフィア・コワレフスカヤ ポール・パンルヴェ イズライル・ゲルファント ウラジーミル・アーノルド ヴォルフガンク・ウォルター テレンス・タオ ピーター・オルバー
日本人 福原満洲雄 溝畑茂 加藤敏夫 藤田宏 増田久弥 木村俊房 広田良吾 佐藤幹夫 神保道夫
表 話 編 歴

精度保証付き数値計算（せいどほしょうつきすうちけいさん、Validated Numerics, Rigorous Computation, Reliable Computation, Verified Computation, Numerical Verification, 独: Zuverlässiges Rechnen）とは数学的に厳密な誤差（前進誤差、後退誤差、丸め誤差、打切り誤差、離散化誤差）の評価を伴う数値計算のことであり、数値解析の一分野である。演算では区間演算を使用し、結果はすべて区間で出力する。精度保証付き数値計算はウォリック・タッカーによって14番目のスメイルの問題を解くのにも活用されており（Tucker (1999)を参照）、力学系の研究では重要なツールとして位置づけられている。

精度保証付き数値計算の必要性

精度保証付き数値計算ではない通常の数値計算だと誤差によって不都合な事象が生じてしまう。いくつかのその例を挙げる。

Rumpの例題

1980年代にRumpは次のような例を提示した（Rump (1988)を参照）。

$f(a,b)=333.75b^{6}+a^{2}(11a^{2}b^{2}-b^{6}-121b^{4}-2)+5.5b^{8}+{\frac {a}{2b}}$

プロジェクト 数学

• INTLAB
• 応用数学分科会
• 精度保証付き数値計算の研究及びその偏微分方程式への応用、2012年度日本数学会秋季賞
• 精度保証付き数値計算学の確立
• 無限次元精度保証付き数値計算の新展開に向けての基礎的研究

解説記事

• 精度保証ノート
• 計算機援用証明と精度保証付き数値計算 (PDF)
• 精度保証付き数値計算概論 (PDF)
• 精度保証付き数値計算のアイディアお教えします (PDF)
• Introduction to verified computation (PDF)
• Reproducing Rump's example

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精度保証付き数値計算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/30 23:37 UTC 版)

「数値解析」の記事における「精度保証付き数値計算」の解説

「精度保証付き数値計算」も参照 近似値の計算をすると同時に計算に含まれる丸め誤差、打切り誤差、離散化誤差をすべて（数学的な意味で）厳密に評価する技術を精度保証付き数値計算という。計算する際は数を区間に置き換えて計算(区間演算) し、真値を含む区間を結果として出力する。精度を保証するという観点から数値計算法全般を見直す動きが数値計算の各方面で起こっている。例えば微分方程式の分野では解の存在証明が困難な解析学上の問題に対する数値的アプローチが確立されつつある。現代では力学系の研究にも応用されており、有力な道具として注目されている。