境界要素法

大車林

境界要素法

英語 boundary element method

対象物の表面(境界)を要素分割し計算する手法。境界積分方程式を解くことにより、境界だけを対象に計算を行うため、有限要素法に比べ要素数がはるかに少ない。しかし、境界内部は均一な特性をもつ物質でなければならない。

参照 有限要素法

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境界要素法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/30 04:37 UTC 版)

境界要素法（きょうかいようそほう、英: boundary element method、BEM）とは、汎用性の高い離散化解析手法の1つで^[1][2][3]、有限差分法^[4][5]、有限体積法^[6]、有限要素法^{[7][8][9][10]}と並び、汎用離散化解析手法の主要3解法の1つとして理工学の分野で受け入れられている。電子計算機の発明・発展以前から進められてきた、応用数学における積分方程式の研究^{[11][12][13][14]}に端を発していることもあり、境界積分方程式法（Boundary Integral Equation Method、略してBIEM）と呼ばれることもある^[15][16]。

電磁気学では、この境界要素法をもちいた電磁界解析をモーメント法（Method of Moments、MOM）と呼んでいる^{[17][18][19][20]}。

解法の基本的な考え方^[1][2][3]

解析手法は、積分方程式の定式化と離散化の2段階を経て構成される。

境界積分方程式の定式化^[1][2][3]

境界要素法では、まず対象とする問題の支配（微分）方程式から境界積分方程式を導出する。定式化には直接法と間接法の2種類がある。今日では、支配方程式の未知量をそのまま積分方程式の未知量として取り扱うことのできる、直接法定式化を採用する場合が多い。ここでは、2次元ラプラス問題を例に、直接法定式化による境界積分方程式の導出方法を説明する。

例：2次元ラプラス問題

ラプラス問題は、支配方程式：

${\displaystyle \nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})=0,\quad \quad ({\boldsymbol {x}}\in \Omega )}$

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得意とする問題

上述のような当該解法の特徴，および利点・欠点を考慮して，今日において境界要素法が得意とする問題としては以下のものがある．

（開領域の）波動伝播の問題

波動伝搬問題とは、対象とする領域内で物理量の擾乱が「波動」として有限な速さで伝播していく問題であり、その多くは開領域の問題（領域に無限遠を含む問題）または半無限領域の問題として定義されることが多い^{[44][45][46][47]}。境界要素法では、開領域の問題をそのまま取り扱うことができ^[1][2][3]、特に波動問題では、無限遠での波動の放射が近似処理なしに表現できる。有限差分法や有限要素法では動的応答の観測点から十分離れたところに仮想的に境界を設け、そこでは波動の放射を表現するような近似的な取り扱いが必要となる。そのような点から、境界要素法は地盤振動解析^[48]や地震波の伝播解析、音響問題の解析^[49][50][51]、電磁場解析^{[17][18][19][20]}などで用いられることが多い。ただし、閉領域を対象とした動的問題（振動問題など）においては、有限要素解析の場合のようなモード解析^[52]ができない上、有限要素法と比べて計算時間を要することから、あまり多用されないようである。

形状最適化問題

境界要素法の利点の1つに、境界上の離散化だけで問題を解くことができる点があった^[1][2][3]。形状最適化問題とは、工学分野の構造部材の形状を、所定の目的関数と制約条件の下で自動的に最適化する問題である^{[53][54][55][56]}。部材の供用を弾性限界内に考えた場合、弾性応答は境界積分方程式を解くことで把握でき、設計感度の計算も同様となる。感度計算は形状の変更のたびに必要となるが、境界上の離散化のみでよいため、要素分割等の作業の手間を大幅に削減することができる。

関連記事

• 数値解析
• CAE
• 有限要素法
• 代用電荷法

脚注

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1. ^ ^{a b c d e f g} 境界要素法 ―基本と応用―、2004年10月、978-4-254-23104-5、J.T.カチカデーリス 著／田中正隆 ・荒井雄理 訳、朝倉書店。
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参考文献

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• Wrobel, L. C.; Aliabadi, M. H. (2002), The Boundary Element Method, New York: John Wiley & Sons, p. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6 (in two volumes).
• 加川幸雄：「開領域問題のための 有限／境界要素法」、サイエンス社 (1983年7月10日)．
• 田中正隆、松本敏郎、中村正行：「境界要素法」培風館（計算力学とCAEシリーズ2）、ISBN 4-563-03377-4 (1991年7月10日).
• 小林昭一（編著）:「波動解析と境界要素法」、京都大学学術出版会、ISBN 4-87698-091-8 (2000年2月25日).
• 加川幸雄、榎園正人、武田殻：「電気・電子境界要素法」、森北出版、ISBN 4-627-71511-0 (2001年2月22日).
• J.T.カチカデーリス：「境界要素法：基本と応用」、朝倉書店、ISBN 4-254-23104-0 (2004年10月25日).

表 話 編 歴 偏微分方程式の数値解法
有限差分法	放物型偏微分方程式 FTCSスキーム（英語版） クランク・ニコルソン法（英語版） 双曲型偏微分方程式 ラックス・フリードリヒ法（英語版） ラックス・ウェンドロフ法（英語版） マコマック法（英語版） 風上スキーム（英語版） 特性曲線法 その他 方向交替陰解法（英語版） (ADI) 有限差分時間領域法 (FDTD)
有限体積法	ゴドノフスキーム（英語版） 高分解能スキーム（英語版） 保存法則用単調性上流中心差分スキーム（英語版） 移流上流分離法（英語版） リーマン解法（英語版）
有限要素法	hp-FEM（英語版） 拡張型有限要素法（英語版） (XFEM) 不連続ガラーキン法（英語版） (DG) スペクトル要素法（英語版） (SEM) モルタル有限要素法（英語版）
メッシュフリー法・粒子法	SPH法 MPS法（英語版） MPM法（英語版）
領域分割法	シューア補元法（英語版） 仮想領域法（英語版） シュヴァルツ交代法（加法シュヴァルツ法（英語版）・抽象加法シュヴァルツ法（英語版）） ノイマン・ディレクレ法（英語版） ノイマン・ノイマン法（英語版） ポアンカレ・ステクロフ法（英語版） バランシング領域分割法（英語版） (BDD) BDDC法（英語版） FETI法（英語版） FETI-DP法（英語版）
その他	スペクトル法 擬似スペクトル法（英語版） (DVR) 線分割法（英語版） (MOL) 多重格子法 選点法 レベルセット法（英語版） 境界要素法 埋め込み境界法 解析要素法（英語版） DSMC法 PIC法 等幾何解析（英語版） 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 可積分アルゴリズム 代用電荷法 超収束 重み付き残差法