放物型偏微分方程式とは? わかりやすく解説

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放物型偏微分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/11/14 10:03 UTC 版)

放物型偏微分方程式(ほうぶつがたへんびぶんほうていしき、: parabolic partial differential equation)とは、二階の偏微分方程式(PDE)の一種で、熱拡散海洋音波伝播英語版などを含む様々な科学の問題に現れるものである。

次の形式で記述される偏微分方程式


放物型偏微分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/31 09:46 UTC 版)

ハルナックの不等式」の記事における「放物型偏微分方程式」の解説

熱方程式のような線型の放物型偏微分方程式に対しても、ハルナックの不等式存在する。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内のある滑らかな領域とし、次の線型放物型作用素考える。 L u = ∑ i , j = 1 n a i j ( t , x ) ∂ 2 ux ix j + ∑ i = 1 n b i ( t , x ) ∂ u ∂ x i + c ( t , x ) u . {\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u.} ここで各係数滑らかかつ有界で、行列 ( a i j ) {\displaystyle (a_{ij})} は正定値であるとする。 u ( t , x ) ∈ C 2 ( ( 0 , T ) × M ) {\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})} は不等式 ∂ u ∂ t − L u ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u\geq 0} および u ( t , x ) ≥ 0 {\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0} を満たす ( 0 , T ) × M {\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}} 内の解とする。 K {\displaystyle K} を M {\displaystyle {\mathcal {M}}} のコンパクトな部分空間とし、 τ ∈ ( 0 , T ) {\displaystyle \tau \in (0,T)} を選ぶ。このとき、 K {\displaystyle K} 、 τ {\displaystyle \tau } および L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の係数にのみ依存するある定数 C > 0 {\displaystyle \quad C>0} が存在し、各 t ∈ ( τ , T ) {\displaystyle \quad t\in (\tau ,T)} に対して次が成立するsup K u ( t − τ , ⋅ ) ≤ C inf K u ( t , ⋅ ) . {\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).\,}

※この「放物型偏微分方程式」の解説は、「ハルナックの不等式」の解説の一部です。
「放物型偏微分方程式」を含む「ハルナックの不等式」の記事については、「ハルナックの不等式」の概要を参照ください。

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