放物線座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 14:23 UTC 版)
「ベルトラン・ダルブーの定理」の記事における「放物線座標」の解説
ポテンシャル V {\displaystyle V} が V = 1 r [ U 1 ( r + x 2 ) + U 2 ( r − x 2 ) ] {\displaystyle V={\frac {1}{r}}\left[U_{1}\left({\frac {r+x}{2}}\right)+U_{2}\left({\frac {r-x}{2}}\right)\right]} という形を取るとき、この系は放物線座標 ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )} により変数分離可能である。この座標は以下のように定義される。 { ξ = ( r + x ) / 2 η = ( r − x ) / 2 , { x = ξ − η y = 2 ξ η {\displaystyle {\begin{cases}\xi =(r+x)/2\\\eta =(r-x)/2\end{cases}},\ \ {\begin{cases}x=\xi -\eta \\y=2{\sqrt {\xi \eta }}\end{cases}}} このとき、ハミルトニアンは H = 1 2 ξ p ξ 2 + η p η 2 ξ + η + U 1 ( ξ ) + U 2 ( η ) ξ + η {\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {\xi p_{\xi }^{2}+\eta p_{\eta }^{2}}{\xi +\eta }}+{\frac {U_{1}(\xi )+U_{2}(\eta )}{\xi +\eta }}} という形を取り、独立な積分としては Φ = 1 2 ξ η ( p ξ 2 − p η 2 ) ξ + η + η U 1 ( ξ ) − ξ U 2 ( η ) ξ + η {\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}{\frac {\xi \eta (p_{\xi }^{2}-p_{\eta }^{2})}{\xi +\eta }}+{\frac {\eta U_{1}(\xi )-\xi U_{2}(\eta )}{\xi +\eta }}} が取れる。このような系の例としては、一様な外力場のもとでのケプラー問題がある（対応する量子系はシュタルク効果により知られている）。
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