ケプラー問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/24 14:40 UTC 版)
古典的なケプラー問題（英語版）における逆二乗則に従う軌道の計算は、ビネ方程式を微分方程式として解けばよい。 d 2 u d θ 2 + u = constant > 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\text{constant}}>0} θ を近点から測ることとすると、一般解は次のように（逆数）極方程式で表わされる。 l u = 1 + ε cos θ {\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta } この式は半通径 l、離心率 ε の円錐曲線を表わしている。 シュワルツシルト座標（英語版）用に導出された相対論的方程式は以下のようになる。 d 2 u d θ 2 + u = r s c 2 2 h 2 + 3 r s 2 u 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}} ここで、c は光速、rs はシュワルツシルト半径である。ライスナー・ノルドシュトロム計量用のものは次のようになる。 d 2 u d θ 2 + u = r s c 2 2 h 2 + 3 r s 2 u 2 − G Q 2 4 π ε 0 c 4 ( c 2 h 2 u + 2 u 3 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)} ここで、Q は電荷、ε0 は真空の誘電率である。
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