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円錐曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/30 09:53 UTC 版)

円錐の切断

円錐曲線（えんすいきょくせん、英語: conic curve）とは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面、円錐断面（英語: conic section）として得られる曲線群の総称である。

歴史

古代ギリシャのアポロニウスが円錐曲線論の体系を著書にまとめ、中世ヨーロッパではケプラーによって天体の軌道との関連が見出された。またアポロニウスによる総合幾何学的な円錐曲線論はオイラーによって解析幾何学を用いて現代的に書き換えられた。

概要

• 
  楕円
• 
  放物線
• 
  双曲線
• 
  断面
• 
  円を含む円錐曲線の図の例（学問によっては、正円を円錐曲線に含まない。）

円錐曲線は、xy-平面 R² 上で定義され、次の陰関数曲線によって与えることが出来る。

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

• 円（全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断）

$X^{2}+Y^{2}=r^{2}\quad$

準線を共有する、いくつかの離心率 e に対応する円錐曲線

焦点を共有する、いくつかの離心率 e に対応する円錐曲線

別な定義のしかたとして、直線と、その直線上に含まれないような点 F を取り、点 F から直線への垂線に対して点 F のある方向が正と定めそれを x 軸とする。直線上で点 M' を動かすとき、その直角位置上で FM : MM' = e : 1 (e > 0) を満たすような点 M の集合は円錐曲線を描く。この時、FM と MM' の比の値 e を離心率といい、直線を準線、 点 F を焦点という。

ここで、焦点 F を極とする平面極座標 (r, θ) を新たにとれば、動点 P の軌道は

$r(\theta )={\frac {l}{1-e\cos \theta }}$

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