ひら‐づら【平面】
へい‐めん【平面】
へいめん【平面】
平面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/05/23 12:45 UTC 版)
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平面(へいめん、plane)とは、平らな表面のことである[1]。平らな面。一般的には曲面や立体などと対比されつつ理解されている。
数学と平面
数学的には平面について様々な説明の仕方がありうる。
ひとつは次のような説明である。
また別の説明としては次のようなものがありうる。
数学で扱う2次元の基本的な物体、または概念である[要出典]。直感的にいって、平らな紙を無限に広げた形状を持つ。幾何学や三角法などで詳しく研究されている。
平面は、次のどの条件を与えても、それを満足するものはただ一つに決定される[要出典]。
- 同一直線上にない 3 点を通る。
- 一つの直線を含み、その直線上にない一つの点を通る。
- 平面の通る一点と、その平面に直交する一つの直線が指定されている。
- 平行であるかただ一点で交わる二つの直線を含む。
ユークリッド空間においては、二つの平面は互いに平行であるか、そうでなければただ一つの直線を共有する(平面の交線)。
デカルト座標
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平面が与えられたとき、解析幾何学的手法としてルネ・デカルトの直交座標を導入することにより、平面上の任意の点は二つの実数の組によって一意的に指定することが出来る。
あるいは 3 次元の空間を x, y, z の 3 つの軸を持つデカルト座標(xyz-座標)で表したとき、その空間内の平面は、方程式
- ax + by + cz + d = 0
(a, b, c, d は実数で、abc ≠ 0)の解全体の作る部分集合の全体として表される。
あるいは、これを二つの一次独立な 3 次元ベクトル v, w と別の 3 次元ベクトル u および、二つの実数値パラメータ s, t を用いて
- u + s v + t w
のかたちに表すことも出来る。この平面上の点は二つのパラメータの値の組 (s, t) によって一意的に指定される。
ベクトルによる表示においては、ベクトルの次元は特に制限されない。すなわち、一般の n 次元ユークリッド空間(n = 2 の場合が最初に述べた意味での平面)における任意の平面は、三つの n 次元数ベクトル u, v, w(v, w は一次独立)と二つの実数値パラメータ s, t によって
- u + s v + t w
のかたちに必ず表される。
幾何学以外の「平面」
出典
関連項目
平面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/27 02:25 UTC 版)
ウィキブックスに公式集関連の解説書・教科書があります。 基本的な面積を計算する公式をいくつか示す。 正方形: a2(a = 一辺の長さ) 長方形: ab(a, b = 縦および横の長さ) 菱形: .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2ab(a, b は2つの対角線の長さ) 台形: 1/2(B + b)h(B, b = 上底および下底の長さ、h = 高さ) 平行四辺形: ah(a = 底辺の長さ、h = 高さ) 平行四辺形: |A × B| = |A||B|sin θ(A, B は平行四辺形を張る独立なベクトル、"×" はベクトルのクロス積(外積)、"| |" はベクトルの大きさ、θ は A と B のベクトルのなす角) 三角形: 1/2ah(a = 底辺の長さ、h = 高さ) 三角形: 1/2absin θ(a, b = 辺の長さ、θ = 2辺のなす角の大きさ(ラジアン (rad))、ヘロンの公式 各頂点の座標が与えられた多角形: 座標法を参照 円: πr2(π = 円周率、r = 半径) 扇形: 1/2r2θ(θ = 中心角の大きさ(ラジアン)) 扇形: πr2θ/360(θ = 中心角の大きさ(度)) 扇形: 1/2lr(l = 弧の長さ (2πrθ/360)) 楕円: πab(a, b = 半長軸および半短軸の長さ) 正多角形: 1/2Pa(P = 周辺の長さ、a = 多角形の辺心距離(中心から辺の中心までの長さ)) 格子多角形:ピックの定理 アステロイド曲線に囲まれた部分: 3/8πa(アステロイド曲線の方程式 x2/3 + y2/3 = a2/3) カージオイド曲線に囲まれた部分: 3/2πa(カージオイド曲線の極方程式 r = a(1 + cos θ))
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平面
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