平面における直線の標準形

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平面における直線の標準形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/26 15:12 UTC 版)

平面上の解析幾何学において、直線の方程式はそのさまざまな特徴の抽出の仕方によって種々の標準形 を持つ。一般に直線の方程式は実二変数の一次方程式であたえられる。

以下、x, y を実数値の変数、t を実数値助変数とし、それ以外は定数を表すものとする。

一般形

直線の方程式の一般形 (general form) は

$Ax+By+C=0$

直線の傾き・切片標準形 (slope–intercept form) は、傾き m と y-切片 b を与えて

$y=mx+b$

直線の切片標準形 (intercept form) は

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

法線は直線に直交する。法線の長さ p は直線と原点との距離である。法線の傾斜角 α は直線が y-軸の正の方向と成す角に等しい。

法線標準形 (normal form) と呼ばれる直線の標準形

$y\sin \alpha +x\cos \alpha -p=0$

方程式

$y=b$

方程式

$x=a$

は一般形の方程式で A = 1, B = 0 とした特別の場合であり、このグラフは x-切片が a であるような鉛直線（y-軸に平行）である。この直線の傾きは定まらず、また a = 0 でないならば y-切片も存在しない。a = 0 のときは直線のグラフが y-軸に一致して、任意の実数が y-切片となる。

自明な方程式

$y=y,\quad x=x$

は、全ての変数や定数が相殺されて消えてしまうもので、常に成立する自明な関係式である。これはつまり、もとの方程式は恒等式と呼ぶべきであり、この方程式のグラフはふつう考えない（考えるとすれば今の場合は xy-平面全体である）。たとえば 2x + 4y = 2(x + 2y) は見かけ上二変数の一次方程式だが、等号で結ばれた各辺の数式は x や y の値をどのように定めようとも「常に」等しい。

同様に不能な方程式

$e=f$

も見かけ上二変数の一次方程式からは現れうる。方程式を代数的な操作で変形していって 1 = 0 のような成立不能な式が導かれる場合に、もとの方程式は不能であるという。これは x や y をどのように与えても関係式が常に成立しないということであり、この場合もグラフを考えることはふつうしないが、かんがえるとすればそれは空集合である。たとえば 3x + 2 = 3x − 5 は一次不能方程式である。

一般化

直線の一般化の方向としては、たとえば直線がうめこまれる空間の次元を上げることと、直線の高次元の対応物となる幾何学的対象を考えることのふたつを挙げることができる

空間直線やもっと高い次元の空間に埋め込まれた直線の標準形としてはしばしば

${\begin{aligned}&{\frac {x-a}{l}}={\frac {y-b}{m}}={\frac {z-c}{n}},\\&{\frac {x_{1}-a_{1}}{m_{1}}}={\frac {x_{2}-a_{2}}{m_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}-a_{n}}{m_{n}}}\end{aligned}}$

という形の式が用いられる。これは実質的に点・傾き標準形であり、パラメータ表示で

${\begin{cases}x=Tt+U\\y=Vt+W\\z=Xt+Y\\\quad \vdots \end{cases}}$

と単純に変数の数を増やしたものとも実質的に同じものである。パラメータ表示はベクトルを用いて書けば高次元への一般化に際しても簡明な記述を行うことができる。直線の高次の対応物は適当な方法で助変数の数を増やすことで得られる。直線を高次元の対応物に置き換える方向では多変数化が行われることになるが、x を（あるいは y も）ベクトル値変数とし、係数は同じ次元のベクトルで変数との内積をとるものとすると、ここに挙げたいくつかの標準形については、そのまま考えることができ、類似の議論をおこなうことができる。

参考文献

• Simon Lhuilier (1809). Elémens d'analyse géométrique et d'analyse algébrique, appliquées à la recherche des lieux géométriques. A Paris: chez J. J. Paschoud; à Genève: chez le même libraire. pp. 114. doi:10.3931/e-rara-4330 

関連項目

• 直線
• 一次函数
• 線型方程式
• 標準形・正規形 (canonical form, normal form, standard form, etc.)

外部リンク

• Stover, Christopher. "Standard Form". MathWorld (英語).
• line in plane - PlanetMath.（英語）
• Equation of Straight Line in Plane at ProofWiki
• Equation of Line in Complex Plane at ProofWiki