平面から円板への等角写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:54 UTC 版)
「ポワンカレ計量」の記事における「平面から円板への等角写像」の解説
ポアンカレ上半平面はポアンカレ円板上にメビウス変換 w = e i ϕ z − z 0 z − z ¯ 0 {\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\bar {z}}_{0}}}} によって等角的に写すことができる。ここで w は、上半平面上の点 z に対応する単位円板上の点である。この写像において、定数 z0 は上半平面上の任意の点とすることができる（この点が単位円板の中心に写る）。実軸 Im z =0 は単位円板の周 |w| = 1 に写る。また、実定数 φ は任意に決まった量だけ円板を回転させるために用いられる。 虚数単位 i を円板の中心に、0 を円板の最下点に写す標準写像（標準座標系）は w = i z + 1 z + i {\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}} で与えられる。
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