上半平面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/03 04:36 UTC 版)
数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、英: upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは と記す（このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
上半平面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 18:33 UTC 版)
「シュワルツの積分公式」の記事における「上半平面」の解説
ƒ = u + iv を閉上半平面 {z ∈ C | Im(z) ≥ 0} 上正則で、ある α > 0 に対して |zα ƒ(z)| が閉上半平面上有界となるような函数とする。このとき、Im(z) > 0 であるようなすべての z に対して f ( z ) = 1 π i ∫ − ∞ ∞ u ( ζ , 0 ) ζ − z d ζ = 1 π i ∫ − ∞ ∞ Re ( f ) ( ζ + 0 i ) ζ − z d ζ {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\zeta ,0)}{\zeta -z}}\,d\zeta ={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}}\,d\zeta } が成立する。 単位円板上の場合と比べて、この公式では任意の定数を加える必要がない。これは、この公式で追加された減衰条件がより厳しいものであることによる。
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