上半平面でのポアソン核
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/21 04:29 UTC 版)
「ポアソン核」の記事における「上半平面でのポアソン核」の解説
単位円板は、メビウス変換の意味で上半平面への等角写像によって写される。調和函数の等角写像はまた調和的であるため、ポアソン核は上半平面全体へ拡張される。この場合、 y > 0 {\displaystyle y>0} に対するポアソン積分方程式は次の形を取る： u ( x + i y ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ P y ( x − t ) f ( t ) d t . {\displaystyle u(x+iy)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)dt.} この核それ自身は次で与えられる。 P y ( x ) = y x 2 + y 2 . {\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.} 実数直線上の可積分函数からなるLp空間内のある函数 f ∈ L p ( R ) {\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )} が与えられたとき、u は f の上半平面への調和拡張と解釈される。単位円板の場合と同様に、u が上半平面において正則であるなら、u はハーディ空間 u ∈ H p {\displaystyle u\in H^{p}} の元で、特に ‖ u ‖ H p = ‖ f ‖ L p {\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}} が成立する。したがって、上半平面上のハーディ空間 Hp はふたたびバナッハ空間となり、特にその実軸への制限は L p ( R ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} の閉部分空間となる。この状況は単位円板の場合に類似しているが、同じというわけではない。単位円に対するルベーグ測度は有限であるが、実数直線に対するルベーグ測度は有限ではない。
※この「上半平面でのポアソン核」の解説は、「ポアソン核」の解説の一部です。
「上半平面でのポアソン核」を含む「ポアソン核」の記事については、「ポアソン核」の概要を参照ください。
- 上半平面でのポアソン核のページへのリンク
