ルベーグ測度

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ルベーグ測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/28 16:46 UTC 版)

数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、英: Lebesgue measure）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 Rⁿ の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを選択公理によって証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 A の測度を λ(A) で表す。

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ルベーグ測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:20 UTC 版)

「台 (測度論)」の記事における「ルベーグ測度」の解説

実数直線 R 上のルベーグ測度 λ と、ある任意の点 x ∈ R を考える。このとき、x の任意の開近傍 Nx は、ある ε > 0 に対する開区間 (x − ε, x + ε) を含む。この区間はルベーグ測度 2ε > 0 となるため、λ(Nx) ≥ 2ε > 0 となる。x ∈ R は任意だったので、supp(λ) = R が成り立つ。