ルベーグ定数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/04 07:53 UTC 版)
補間点 x0, ..., xn を設定し、全ての補間ノードが区間 [a, b] にあるとする。補間とはすなわち、関数 f から多項式 p への写像をする過程である。これにより、[a, b] 上の全ての連続関数の空間 C([a, b]) からそれ自身への写像 X を定義する。写像 X は線型であり、n次以下の多項式の部分空間 Πn 上の射影である。 ルベーグ定数 L は X の作用素ノルムとして定義される。それは次のようになる（ルベーグの補題の特殊ケース）。 ‖ f − X ( f ) ‖ ≤ ( L + 1 ) ‖ f − p ∗ ‖ {\displaystyle \|f-X(f)\|\leq (L+1)\|f-p^{*}\|} 言い換えれば、補間多項式は最良の近似に比べて最大で係数 (L+1) のぶんだけ悪い。従って補間ノード集合は L が小さいほどよいことを示唆している。特にチェビシェフノードは次のようになる。 L ≥ 2 π log ( n + 1 ) + C for some constant C . {\displaystyle L\geq {\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+C\quad {\mbox{for some constant }}C.} つまり、チェビシェフノードは多項式補間には最適の選択であり、同程度の良さを等間隔ノードで実現しようとすると n を指数関数的に成長させる必要がある。しかし、それらノードは最適ではない。
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