ルベーグ積分との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 08:59 UTC 版)
どのような非負の可測関数 f : X → R + {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}} であっても、単調増加な非負の単関数の列の各点収束の極限として与えられる。実際、 f {\displaystyle f} を測度空間 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 上定義される、上述のような非負可測関数とする。各 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対し、 f {\displaystyle f} の値域を、 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2n}+1} 個の区間で、その内の 2 2 n {\displaystyle 2^{2n}} 個が長さ 2 − n {\displaystyle 2^{-n}} を持つようなものに区分する。すなわち、各 n {\displaystyle n} に対して、 I n , k = [ k − 1 2 n , k 2 n ) {\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)} for k = 1 , 2 , … , 2 2 n {\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}} および I n , 2 2 n + 1 = [ 2 n , ∞ ) {\displaystyle I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )} を定める（固定された n {\displaystyle n} に対して、各集合 I n , k {\displaystyle I_{n,k}} は互いに素であり、実数直線の非負の部分を覆うことに注意されたい）。 今、可測集合 A n , k = f − 1 ( I n , k ) {\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,} for k = 1 , 2 , … , 2 2 n + 1 {\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1} を定義する。このとき、単関数の増加列 f n = ∑ k = 1 2 2 n + 1 k − 1 2 n 1 A n , k {\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}} は、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } としたとき、 f {\displaystyle f} へと各点収束する。 f {\displaystyle f} が有界であるなら、その収束は一様であることに注意されたい。（簡単に積分可能である）単関数によるこのような f {\displaystyle f} の近似によって、積分 f {\displaystyle f} を定義することが出来る。より詳細な議論は、記事「ルベーグ積分」を参照されたい。
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