上半平面上のポアソン核
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/21 04:29 UTC 版)
「ポアソン核」の記事における「上半平面上のポアソン核」の解説
上半平面でのポアソン核の表現を得ることも出来る。標準的な Rn+1 のデカルト座標を ( t , x ) = ( t , x 1 , … , x n ) {\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n})} で表す。上半平面は、次の集合で定義される。 H n + 1 = { ( t ; x ) ∈ R n + 1 ∣ t > 0 } . {\displaystyle H^{n+1}=\{(t;\mathbf {x} )\in \mathbf {R} ^{n+1}\mid t>0\}.} Hn+1 に対するポアソン核は、次で与えられる。 P ( t , x ) = c n t ( t 2 + | x | 2 ) ( n + 1 ) / 2 . {\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{(t^{2}+|x|^{2})^{(n+1)/2}}}.} ただし c n = Γ [ ( n + 1 ) / 2 ] π ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}} である。 上半平面に対するポアソン核は、t が補助パラメータの役割を果たすアーベル核 K ( t , ξ ) = e − 2 π t | ξ | {\displaystyle K(t,\xi )=e^{-2\pi t|\xi |}} のフーリエ変換として現れる。すなわち P ( t , x ) = F ( K ( t , ⋅ ) ) ( x ) = ∫ R n e − 2 π t | ξ | e − 2 π i ξ ⋅ x d ξ {\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi } となる。特にフーリエ変換の性質より、畳み込み P [ u ] ( t , x ) = [ P ( t , ⋅ ) ∗ u ] ( x ) {\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)} は、少なくとも形式的には、上半平面におけるラプラス方程式の解となる。t → 0 に対して、弱い意味で P[u](t,x) → u(x) となることも示すことが出来る。
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