直交座標系
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直交座標系（ちょっこうざひょうけい、英: rectangular coordinate system, 英: orthogonal coordinate system[注 1]）とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる2つの実数の組によって点の位置を指定する。同様にして空間上の直交座標系では座標は3つの実数の組で与えられる。
『方法序説』[6][7][8]（1637年）を発表し、平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名を採って、デカルト座標系 (英: Cartesian coordinate system) とも呼ぶ。
平面上の直交座標系
まず平面上に数直線を1本引く。この直線を x 軸と呼ぶことにする。x 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ x 座標の値をとると定める。次にこの x 軸に対して、原点から直角にもう1本数直線を引く。これを y 軸と呼ぶことにする。y 軸も x 軸と同様に y 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ y 座標の値をとると定める。
座標軸の向きには任意性があるが、通常は y 軸の正の向きは x 軸の正の向きから一直角分、反時計回りに回転した向き（右手系）とする。また一般に x 軸は水平方向に右の方向を正の向きにして引き、そのとき y 軸は垂直方向に上方向が正の向きとなる。
平面上の点ごとに実数の対 (a, b) が一意に定まり、その点を通ってx 軸上の点 a においてx軸と直角に交わる直線と、 その点を通ってy 軸に b で直角に交わる直線を引くと、それぞれ1本に限定される。このとき、この交点の座標は (a, b) である。x 軸とy 軸が交わる点を原点とよび、原点の座標は (0, 0) になる。
象限
x 座標もy 座標も正の値をとる点からなる領域を、第一象限とよぶ。また x 座標が負でy 座標が正の値をとる点が占める領域は第二象限、x 座標もy 座標も負の値をとる点が構成する領域を第三象限、x 座標が正でy 座標が負の値をとる領域は第四象限とよぶ。
高次元の直交座標系
3次元空間の直交座標系は空間内で互いに直交する3本の数直線 x軸、 y軸、z軸を決めて定める。平面の場合と同様に、空間のそれぞれの点に対しその点から各座標軸への垂線の交点を表す実数たちの組 (a, b, c) によって座標が与えられる。3つの軸の向きは右手系の向きにとられるのが普通である。また各座標軸の配置は、 x 軸と y 軸を含む平面（xy-平面）が水平で、z 軸の向きはxy-平面に対し鉛直上向きとなるよう置くことが多い。
右図では3本の線が座標軸を表し、赤い平面上の点は x 座標が1、黄色い平面上の点は y 座標が -1、青い平面上の点は z 座標が1である。黒い点の座標は (1, -1, 1) になる。
より一般に、d 次元の実内積空間 E に対し、その正規直交基底 (e1, …, ed) に関する座標は「直交座標系」とよばれる。
応用
地形情報を書き表して災害対策に用いることが可能。
脚注
注釈
出典
- ^ デカルト「幾何学」原亨吉訳『デカルト著作集 1』増補版（白水社、2001年）ISBN 4-560-02525-8、国立国会図書館書誌ID: 3073959
- ^ Descartes, René『幾何学』原亨吉 訳（筑摩書房〈ちくま学芸文庫、[テ6-4]〉2013年）、 NCID BB13710542。白水社版（2001年）を文庫化。
- ^ Descartes, René『方法叙説』小泉義之 訳（講談社〈講談社学術文庫、[2700]〉、2022年） ISBN 9784065267295、 NCID BC12084323。
- ^ Descartes, René. The geometry of René Descartes. Smith, David Eugene ; Latham, Marcia L. 訳、Open court、1925年。 NCID BA56636047。
- ^ デカルト『方法についての議論：理性をよく動かし、科学の中に真実を求めること。詳細、視度。流星—ならびにこの方法の試験版としての幾何学』 Jean-Robert Armogathe、ヴァンサン・カラウド 改訂（フェイヤール〈フランス語の哲学書コーパス〉、1986年頃）Armogathe, Jean Robert ; Carraud, Vincent. Discours de la méthode : pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences ; plus, La dioptrique ; Les météores ; et, La géométrie qui sont des essais de cete méthode. Fayard, 1986 (Corpus des œuvres de philosophie en langue française). ISBN 2213016992、 NCID BA01288021。
- ^ デカルト論考「幾何学」の翻訳版は原亨吉訳（白水社、2001年）[1]ほか、発行年順に示す。2013年原亨訳[2]、2022年小泉義之訳[3]、1925年英語訳[4]。原書の改訂版（フェイヤール〈フランス語の哲学書コーパス〉、1986年頃）[5]。
- ^ Descartes (1637). Ian Maire. ed (フランス語). Discours de la methode : pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences. Plus la dioptrique, les meteores, et la geometrie, qui sont des essais de cette methode. NCID BB21963860
- ^ R・デカルト. “付録” (英語). 理性を正しく導き、もろもろの科学における真理を探究するための方法序説. コーネル大学図書館. オリジナルの2009-02-15時点におけるアーカイブ。. "La Géométrie"
参考文献
主な執筆者、編者の順。
- 細山田 得三「直交座標系での地形情報の表現とその洪水氾濫への適用について」『長岡技術科学大学研究報告』24巻、45-53頁、長岡技術科学大学、2002-01-15。 CRID 1050845762966808192、 ISSN 0388-5631。
- 小渡 悟、0D0, Satoru「対数極座標空間の高次局所自己相関特徴を用いたポインティングデバイスの提案」『沖縄大学マルチメディア教育研究センター紀要』4号、57-70頁、沖縄大学マルチメディア教育研究センター、2004-03-31。 CRID 1050853796606494336。 ISSN 1346-4264。掲載誌別題『The Bulletin of Multimedia Education and Research Center, University of Okinawa』。
- 白田 由香利「固有値の概念の教授法 : 経営学科に適した線型代数の教授法」『學習院大學經濟論集』第50巻第1号、学習院大学経済学会、2013年4月、31-42頁。 CRID 1050001202932009344、 ISSN 0016-3953。
関連項目
外部リンク
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デカルト座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/30 16:59 UTC 版)
平面が与えられたとき、解析幾何学的手法としてルネ・デカルトの直交座標を導入することにより、平面上の任意の点は二つの実数の組によって一意的に指定することが出来る。 あるいは 3 次元の空間を x, y, z の 3 つの軸を持つデカルト座標（xyz-座標）で表したとき、その空間内の平面は、方程式 ax + by + cz + d = 0 （a, b, c, d は実数で、abc ≠ 0）の解全体の作る部分集合の全体として表される。 あるいは、これを二つの一次独立な 3 次元ベクトル v, w と別の 3 次元ベクトル u および、二つの実数値パラメータ s, t を用いて u + s v + t w のかたちに表すことも出来る。この平面上の点は二つのパラメータの値の組 (s, t) によって一意的に指定される。 ベクトルによる表示においては、ベクトルの次元は特に制限されない。すなわち、一般の n 次元ユークリッド空間（n = 2 の場合が最初に述べた意味での平面）における任意の平面は、三つの n 次元数ベクトル u, v, w（v, w は一次独立）と二つの実数値パラメータ s, t によって u + s v + t w のかたちに必ず表される。
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