デカルト座標系での表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:23 UTC 版)
「発散 (ベクトル解析)」の記事における「デカルト座標系での表示」の解説
x, y, z を三次元ユークリッド空間のデカルト座標系とし、対応する単位ベクトルからなる基底を i, j, k とする。 連続的微分可能なベクトル場 F = U i + V j + W k の発散はスカラー値の函数: div F = ∇ ⋅ F = ∂ U ∂ x + ∂ V ∂ y + ∂ W ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}} に等しい。これは座標で表されているけれども、物理的解釈が示唆する通り、この式の値は任意の直交変換によって変わることはない。 しばしば用いられる発散の記法 "∇ · F" は、中黒を点乗積と見做して、∇ の成分（ナブラの項を参照）と F の成分との積和をとったものが上記の式になるという記憶術として使える。しかしもちろん、作用素の適用は成分同士の積とは異なるから、これは記号の濫用の一種である。 連続的微分可能二階テンソル場 ε の発散は、一階テンソル場 div ( ϵ ) → = ( ∂ ϵ x x ∂ x + ∂ ϵ x y ∂ y + ∂ ϵ x z ∂ z ∂ ϵ y x ∂ x + ∂ ϵ y y ∂ y + ∂ ϵ y z ∂ z ∂ ϵ z x ∂ x + ∂ ϵ z y ∂ y + ∂ ϵ z z ∂ z ) {\displaystyle {\overrightarrow {{\operatorname {div} }({\boldsymbol {\epsilon }})}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial \epsilon _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \epsilon _{xz}}{\partial z}}\\[5pt]{\dfrac {\partial \epsilon _{yx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \epsilon _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial z}}\\[5pt]{\dfrac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \epsilon _{zy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \epsilon _{zz}}{\partial z}}\end{pmatrix}}} になる。
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