テンソル場

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テンソル場

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/05 08:07 UTC 版)

数学、物理学および工学におけるテンソル場（テンソルば、英: tensor field）は、数学的な空間（典型的にはユークリッド空間や多様体）の各点にテンソルを割り当てるものである。テンソル場は微分幾何学、代数幾何学、一般相対論において用いられ、物質の応力および歪みの解析やその他物理科学および工学における様々な応用に供される。テンソルがスカラー（長さのような値を表す数値）やベクトル（空間内の幾何学的な矢印）の一般化であるのと同様に、テンソル場はスカラー場およびベクトル場（それぞれ空間の各点にスカラーおよびベクトルを割り当てる）の一般化になっている。

一口に「テンソル」と呼ばれている概念でも、実際の数学的構造は「テンソル場」であるという場合も多い。例えばリーマン曲率テンソルなど。

幾何学的導入

直観的には、ベクトル場は領域の各点に（変化する長さや方向を持つ）「矢印」を張りつけることによってもっともよく視覚化することができる。まがった空間上のベクトル場の一つの例として、地上の各地点における水平方向の風速を示した天気図がある。

テンソル場の一般概念は、もっと豊かな幾何（例えば計量テンソルの場合において、点から点へ変化する楕円体）の要求にこの概念を結び付けるとき、地表をマッピングする特定の方法に依存する先の方法のようにはならないようにする。つまり、その値は数値的な座標系を導入するために用いる経緯度の測り方、あるいは何か特定の「地図投影」に独立に存在しているものでなければならない。

ベクトル束としての説明

テンソル場の概念の現代数学的な表示は二段階の概念に分けることができる。

「（多様体 M に値を取る）パラメータに依存するベクトル空間」の自然な概念として、ベクトル束の概念がある。例えば、「一つの角に依存する一次元ベクトル空間」というのはメビウスの帯や円柱のようなものになる。多様体 M 上のベクトル束 V が与えられたとき、対応する場の概念はベクトル束の切断（英: section）と呼ばれる。これは m が M 上を動くとき、m におけるベクトル空間上のベクトル v_m ∈ V_m を一つずつ選ぶものである。

テンソル積の概念は基底の選び方に依らないから、M 上の二つのベクトル束のテンソル積を取ることは各点におけるテンソル積の単純な繰り返しである。接束（接空間全体の成す束）から始めて、テンソルの成分に依らない扱いで用いた論法を全体に繰り返し適用すればよい。これはまた導入において述べたとおり座標系に依存しない。

これによって、つまりテンソル束の切断として、テンソル場の定義を与えることができる。（テンソル束ではないようなベクトル束は存在する。例えばメビウスの帯）。この方法は全てを内在的な方法で行うことができるから、従ってこれは幾何学的な内容を保証するものになっている。より正確に言えば、テンソル場は多様体の各点に対して空間

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$カテゴリ

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テンソル場

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)

「特殊相対性理論」の記事における「テンソル場」の解説

ミンコフスキー空間上の各世界点 P にテンソル TP を割り振ったもの（すなわちミンコフスキー空間からテンソルの集合への写像 P ⤅ TP）をテンソル場という。 相対性理論でテンソル場は中核に位置する概念であり、電磁場を初めとして様々なものをテンソル場として表現する。