共変微分
(テンソル微分 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/06 23:54 UTC 版)
共変微分とは微分幾何学の接続概念の別名、ないし接続から定まる概念であるので、接続の記事を参照されたい。
- 接続の一般論に関しては接続 (微分幾何学)を参照
- ファイバーバンドルの接続に関しては接続 (ファイバー束)を参照
- 主バンドルの接続に関しては接続 (微分幾何学)#主接続の節（概要説明）、接続 (ファイバー束)#主接続の節（詳細説明）を参照
- ベクトルバンドルの接続に関しては接続 (ベクトル束)を参照
- 接バンドルの接続に関してはアフィン接続を参照
- リーマン多様体の接続に関してはレヴィ・チヴィタ接続を参照
- 一般相対性理論等で用いる擬リーマン多様体上の共変微分に関してはレヴィ・チヴィタ接続#擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続を参照
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テンソル微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:22 UTC 版)
∇をベクトル場に施して、結果がテンソルとなることもある。ベクトル場 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} のテンソル微分は9つの成分を持つ二階テンソルだが、これを二項積 ⊗ を用いて、簡単に ∇ ⊗ v {\displaystyle \nabla \otimes {\boldsymbol {v}}} と書くことができる。この量は空間に対するベクトル場のヤコビ行列の転置に等しい。 微小変位 δ r {\displaystyle \delta {\boldsymbol {r}}} に対して、ベクトル場の変位は δ v = ( ∇ ⊗ v ) ⋅ δ r {\displaystyle \delta {\boldsymbol {v}}=(\nabla \otimes {\boldsymbol {v}})\cdot \delta {\boldsymbol {r}}} で与えられる。
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