ナブラ

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ナブラ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/29 04:08 UTC 版)

ベクトル解析における演算子 ∇（ナブラ、英: nabla、del）は、ベクトル微分演算を表し、特に一次元の領域で定義された函数に施すとき、微分積分学で定義される通常の微分 D = d/dx と同じになる。多次元の領域上で定義された場に施すときには、スカラー場の勾配 grad や、ベクトル場に対しては作用のさせ方により回転 curl や発散 div を与えたりする。

厳密に言えば、∇ は特定の作用素を意味するのではなくて、いま挙げたような演算に対する簡便記法と考えるべきであって、これにより様々な等式が覚え易く書き易いものとなる。∇ を偏微分作用素を成分とするベクトルと解釈すれば、三種の演算 grad, div, curl(またはrot) は、場と ∇ とのそれぞれスカラー倍、点乗積、交叉積を形式的に取ったものと見做すことができる。これらの形式的な積が、必ずしも他の作用素や積と可換であることは要求されない。

定義

座標 (x, y, z) を持つ三次元デカルト座標空間 R³ において ∇ は、偏微分作用素を項とするベクトルとして

$\nabla ={\hat {\boldsymbol {x}}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\boldsymbol {y}}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\boldsymbol {z}}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

DCG chart: 二階微分に関する全ての規則を記した簡易チャート。D, C, G, L, CC はそれぞれ divergence, curl, gradient, Laplacian, curl of curl を表す。矢印は二階微分の存在を指し示すもので、青い円は curl of curl の中間表現、赤い（破線の）円は DD と GG が存在しないことを意味する。

スカラーやベクトルに∇を施すと一般にスカラーやベクトルが返ってくるのだが、ベクトルの乗法は多様（スカラー倍、スカラー積、ベクトル積）だから、∇の施し方ですでに勾配（スカラー倍）・発散（スカラー積）・回転（ベクトル積）の三種類の微分が生じている。そこでこの三種類の微分に、再び各種微分を施すと可能なものが五種類出てきて、これにラプラス作用素とベクトルラプラス作用素を加えると、以下のようになる。f はスカラー場、v はベクトル場として、

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)$