方向微分

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方向微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/08 07:13 UTC 版)

数学において、多変数微分可能関数のある与えられた点 x におけるある与えられたベクトル v に沿った方向微分（ほうこうびぶん、英: directional derivative）とは、直感的には、v によって特徴づけられた速度で x を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つの座標曲線に沿った変化率を取るような、偏微分の概念を一般化するものである。

方向微分は、ガトー微分の特別な場合である。

定義

あるベクトル

${\boldsymbol {v}}=(v_{1},\dotsc ,v_{n})$

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方向微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 04:41 UTC 版)

「微分」の記事における「方向微分」の解説

詳細は「方向微分」を参照 関数 f(x1, …, xn) について、偏微分は f の各座標軸方向への変化を測る。f の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。 ベクトル v = (v1, …, vn) に対して、関数 f の点 a = (a1, …, an) における v 方向への方向微分係数とは、 lim h → 0 f ( a + h v ) − f ( a ) h のことである。xj 軸正の方向の単位ベクトルを ej とするとき、ej 方向への方向微分係数は、xj に関する偏微分係数に他ならない。 f が点 a においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトル v について、点 a における v 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は v に関して線型である。特に、v = (v1, …, vn) に対して方向微分係数 Dvf(a) は D v f ( a ) = ∑ j = 1 n v j ∂ f ∂ x j ( a ) によって与えられる。