多様体上の微積分とは? わかりやすく解説

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多様体上の微積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)

可微分多様体」の記事における「多様体上の微積分」の解説

多変数の微分積分学テクニック多くまた、自然な修正加えて可微分多様体適用する例え多様体の接ベクトル沿った微分可能関数方向微分を定義でき、これは関数の全微分一般化する手段微分、に導く。微積分学観点から、多様体上の関数微分少なくとも局所的英語版)にはユークリッド空間定義され関数通常の微分多く同じよう振る舞う例えそのような関数に対して陰関数定理逆関数定理バージョン存在するしかしながらベクトル場(および一般にテンソル場)の微積分においては重要な違いがある。手短に言えばベクトル場方向微分well-defined でなく、あるいは少なくとも直截的方法では定義されないベクトル場(やテンソル場)の微分いくつかの一般化確かに存在しユークリッド空間での微分いくつかの形式的な性質捉える主なものは: リー微分、これは微分構造によって一意的に定義されるが、方向微分通常の性質いくつか満たされないアフィン接続、これは一意的に定義されないが、通常の方向微分性質をより完全に一般化するアフィン接続一意でないので、それは多様体特定されなければならない追加データである。 積分法からのアイデア可微分多様体持ちこされる。これらは外微分法微分形式のことばで自然に表現される多変数の積分基本的な定理 — すなわちグリーンの定理発散定理ストークスの定理 — は外微分部分多様体上の積分関連付ける定理(これもストークスの定理呼ばれる)に一般化する

※この「多様体上の微積分」の解説は、「可微分多様体」の解説の一部です。
「多様体上の微積分」を含む「可微分多様体」の記事については、「可微分多様体」の概要を参照ください。

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