多様体上での恒等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/29 02:16 UTC 版)
「グリーンの恒等式」の記事における「多様体上での恒等式」の解説
グリーンの恒等式はリーマン多様体上で成立する。この場合、初めの二つの恒等式は次のようになる。 ∫ M u Δ v d V + ∫ M ⟨ grad u , grad v ⟩ d V = ∫ ∂ M u N v d V ~ ∫ M ( u Δ v − v Δ u ) d V = ∫ ∂ M ( u N v − v N u ) d V ~ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}u\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \operatorname {grad} \ u,\operatorname {grad} \ v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNvd{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\Delta v-v\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)d{\widetilde {V}}.\end{aligned}}} ここで u と v は M 上の滑らかな実数値函数、dV は計量と両立する体積形式、 d V ~ {\displaystyle d{\widetilde {V}}} は M の境界上で誘起された体積形式、N は境界上での向き付けられた単位法ベクトル場、∇2u = div(grad u) はラプラシアンである。
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