多様体の間の写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 02:14 UTC 版)
m1 次元 Cs 級多様体 (M1,S) から m2 次元 Ct 級多様体 (M2,T) への写像 f を考える。 f: M1 → M2 それぞれの多様体に与えられている座標近傍系が S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} , T = {(Vτ, ψτ) | τ ∈ Τ} で定められているとする。多様体上の関数と同じように、写像も座標を用いて表現することができる。関数の場合と違うのは写像でうつる先でも座標について考えなければならないことである。 M2 = R という「特別な」場合の写像が関数になる。 f(Uλ) ⊆ (Vτ) とし f を (Uλ, φλ) から (Vτ, ψτ) への写像として座標を用いて書くとすると φ λ : U λ → U λ ′ {\displaystyle \varphi _{\lambda }:U_{\lambda }\to U'_{\lambda }} ψ τ : V τ → V τ ′ {\displaystyle \psi _{\tau }:V_{\tau }\to V'_{\tau }} とすれば ψ τ ∘ f ∘ φ λ − 1 : U λ ′ → V τ ′ {\displaystyle \psi _{\tau }\circ f\circ \varphi _{\lambda }^{-1}:U'_{\lambda }\to V'_{\tau }} となる。これが具体的に座標の成分を用いて ψ1 = f(φ1, ..., φm) ψ2 = f(φ1, ..., φm) ... ψn = f(φ1, ..., φm) のように表現されているとき、 この表示を (Uλ, φλ) と (Vτ, ψτ) に関する f の局所座標表示という。 座標変換を考えるために f(U1) ⊆ (V1) , f(U2) ⊆ (V2) とし、 U1 ∩ U2 が空でないとする。 U1 ∩ U2 に対して、座標近傍 (U1, φ1) と (V1, ψ1) での写像 f の表示 ψ 1 ∘ f ∘ φ 1 − 1 : φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) → ψ 1 ( V 1 ∩ V 2 ) {\displaystyle \psi _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}:\varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \psi _{1}(V_{1}\cap V_{2})} を座標変換を用いて座標近傍 (U2, φ2) と (V2, ψ2) に関する表示に変換すると ( ψ 2 ∘ ψ 1 − 1 ) ∘ ( ψ 1 ∘ f ∘ φ 1 − 1 ) ∘ ( φ 1 ∘ φ 2 − 1 ) : φ 2 ( U 1 ∩ U 2 ) → ψ 2 ( V 1 ∩ V 2 ) {\displaystyle (\psi _{2}\circ \psi _{1}^{-1})\circ (\psi _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})\circ (\varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}):\varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \psi _{2}(V_{1}\cap V_{2})} それぞれの括弧は、座標系から座標系への写像になっている。左端の括弧は (M2,T) での座標変換なので Ct 級、右端の括弧は (M1,S) での座標変換なので Cs 級である。このことからs と t の小さい方（ s = t ならばその値）を u として、この合成写像の微分可能性は高々 Cu 級であり、 u + 1 回以上の連続微分可能性を仮定することは意味を持たない。 したがって f: M1 → M2 が Cr 級写像であるとは、任意の座標近傍に対し、そこでの局所座標表示が Cr 級写像であることと定義される。ただし 0 ≤ r ≤ u = min{s,t} とする。 1 ≤ r ≤ u の時 f: M1 → M2 が全単射で f とその逆写像 f−1 がともに Cr 級写像であるとき、 f を Cr 級微分同相写像 (Cr diffeomorphism) という。f が Cr 級微分同相写像であれば、f−1 も明らかに Cr 級微分同相写像である。 M1 と M2 の間に Cr 級微分同相写像が存在するとき M1 と M2 は互いに Cr 級微分同相 (Cr diffeomorphic) であるという。
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