座標表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 21:52 UTC 版)
「シュレーディンガー方程式」の記事における「座標表示」の解説
量子力学において、物理量の固有状態を表す状態ベクトルは完全正規直交系をなすため、任意の状態ベクトルはある物理量の固有状態の線型結合に展開することができる。状態ベクトルを展開した際に各々の固有ベクトルにかかる展開係数を波動関数と呼ぶ。状態ベクトル | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } を位置演算子 ^x の固有ベクトル | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } によって展開すれば、形式的に以下のように表すことができる。 | ψ ( t ) ⟩ = ∫ ψ ( x ′ , t ) | x ′ ⟩ d x ′ . {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\int \psi (x',t)|x'\rangle dx'\,.} 特定の固有ベクトルに対する波動関数は、その双対ベクトル ⟨ x | {\displaystyle \langle x|} を状態ベクトル | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } にかけることで取り出すことができる。 ψ ( x , t ) = ⟨ x | ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle \psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle \,.} このことは固有ベクトルの正規性および直交性によっている。 位置演算子の固有ベクトルにかかる波動関数を特に座標表示の波動関数と呼ぶ。シュレーディンガー方程式を座標表示の波動関数によって書き換えれば、 i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t = H ^ x ψ ( x , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}={\hat {H}}_{x}\psi (x,t)} となる。波動関数は位置 x を変数に持つため、時間微分は偏微分に置き換えられる。ここでのハミルトニアンは H ^ x ψ ( x , t ) = ⟨ x | H ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}_{x}\psi (x,t)=\langle x|{\hat {H}}|\psi (t)\rangle } として座標表示した波動関数に作用する演算子に置き換えられている。同様に運動量表示の波動関数のシュレーディンガー方程式を考えることもできる。座標表示や運動量表示の波動関数に対するシュレーディンガー方程式は単純な代数方程式ではなく、線型偏微分方程式となる。
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座標表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/13 19:59 UTC 版)
xa を座標系とする。(r, s)-型のテンソル場 T {\displaystyle T} に対して、 X {\displaystyle X} に沿ったリー微分は ( L X T ) a 1 … a r b 1 … b s = X c ( ∇ c T a 1 … a r b 1 … b s ) − ( ∇ c X a 1 ) T c … a r b 1 … b s − … − ( ∇ c X a r ) T a 1 … c b 1 … b s + ( ∇ b 1 X c ) T a 1 … a r c … b s + … + ( ∇ b s X c ) T a 1 … a r b 1 … c {\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=&X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&-(\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\ldots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots c}\end{aligned}}} ここで、∇ は x 座標での勾配であり、 ∇ a = ∂ / ∂ x a {\displaystyle \nabla _{a}=\partial /\partial x^{a}} である。代わりに捩率ゼロの接続を用いれば、∇ は共変微分でもある。捩率ゼロの接続に対しては、両定義は同値である。
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