極形式表示での乗除法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/21 13:52 UTC 版)
複素数の乗除・冪は、極形式表示をしてから行う方が、直交座標表示よりも、見通しがよくなる。2つの複素数の極形式を z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2) とすると、積 z1 z2 は、三角関数の加法定理： cos α cos β − sin α sin β = cos ( α + β ) , {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos(\alpha +\beta ),} cos α sin β + sin α cos β = sin ( α + β ) {\displaystyle \cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )} により z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( φ 1 + φ 2 ) + i sin ( φ 1 + φ 2 ) ) {\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))} となる。すなわち、積の絶対値は絶対値の積であり、積の偏角は偏角の和である。 i2 = −1 より、虚数単位 i = √−1 を掛けること（作用）は、複素数平面上で原点中心に反時計回りに直角回転させることである。ゆえに、虚数単位 i は、複素数平面上では、直交座標で (0, 1) の位置にある。 同様にして、商は z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( φ 1 − φ 2 ) + i sin ( φ 1 − φ 2 ) ) {\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right)} になる。
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