極座標表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 15:13 UTC 版)
球面座標 (r, θ, φ) を用いると、^L は ( L ^ x , L ^ y , L ^ z ) = ( i ℏ ( sin φ ∂ ∂ θ + cot θ cos φ ∂ ∂ φ , ) , i ℏ ( − cos φ ∂ ∂ θ + cot θ sin φ ∂ ∂ φ ) , − i ℏ ∂ ∂ φ ) {\displaystyle ({\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z})=\left(i\hbar \left(\sin \varphi {\partial \over \partial \theta }+\cot \theta \cos \varphi {\partial \over \partial \varphi },\right),i\hbar \left(-\cos \varphi {\partial \over \partial \theta }+\cot \theta \sin \varphi {\partial \over \partial \varphi }\right),-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }\right)} と書ける:p98。さらに球面座標表示した曲線 R(r)=(r,0,0)、Θ(θ)=(0,θ,0)、Φ(φ)=(0,0,φ) の原点における接線方向の単位ベクトルを er、eθ、eφ とするとき、er、eθ、eφ 方向の軌道角運動量演算子 ^Lr, ^Lθ, ^Lφ とすると、以下が成立する： L r = 0 {\displaystyle L_{r}=0} L θ = i ℏ 1 sin θ ∂ ∂ ϕ {\displaystyle L_{\theta }=i\hbar {\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}} L ϕ = − i ℏ ∂ ∂ θ {\displaystyle L_{\phi }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}
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極座標表示
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極座標で書き表すと： L 2 ^ = − ℏ 2 ( 1 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + 1 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 ) {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)} である。
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