複素対数函数
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/29 05:49 UTC 版)
複素解析における複素対数函数（ふくそたいすうかんすう、英: complex logarithm）は、実自然対数函数が実自然指数函数の逆函数であるのと同様の意味において、複素指数函数の逆「函数」である。すなわち、複素数 z の対数 w とは ew = z を満たす複素数を言い[1]、そのような w を ln z や log z などと書く。任意の非零複素数 z は無限個の対数を持つ[1]から、そのような表記が紛れのない意味を為すように気を付けねばならない。
注釈
- ^ このことを、複素指数函数は各非零複素数 z に z の対数となる複素数全体の成す集合を対応させる多価函数を「逆函数」に持つと解釈することもできる
- ^ 特に計算機言語では atan2(y, x) とも書いて、これは x > 0 では arctan(y/x) に一致するが、任意の (x, y) ≠ (0, 0) に対して修正された値をとる。
- ^ 実際にはこれは主値 Log z の制限になる。そのことは、主値との差を微分して 1 における値を比べればわかる。
- ^ 厳密にいえば、各円上の点から負の実軸上の点は除くか、そこでは主値を用いるかしなければならない。
- ^ リーマン面を R と書いたり、その上の対数を logR と書くのはここだけのローカルな記号であって、一般に使用されるものではない
出典
- 1 複素対数函数とは
- 2 複素対数函数の概要
- 3 枝の選択
- 4 複素対数の等角性
- 5 一般化
- 6 関連項目
複素数の対数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 05:35 UTC 版)
詳細は「複素対数函数」を参照 0 でない複素数 z を極座標表示して z = r eiθ と書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので log z = ln r + iθ ということになる（ln z と書くことはあまりない）が、この θ の選び方は一通りではなく 、2π の整数倍だけ異なる値を選ぶことができる。したがって、複素数の対数関数は多価正則関数である。 定義域を制限することによって、その定義域の上では正則な一価関数となるように θ の選び方を定めることができる。定義域は 0 を含まない単連結領域ならどれでもよいが、よく使われるのは複素平面から 0 と負の実数を除いた領域であり、変数の偏角を −π < θ < π の範囲にとる。このとき、r eiθ ↦ ln r + iθ によって正則な一価関数が得られる。この関数を対数関数の主値と呼び、 Log z と書く（Ln z と書くことはあまりない）。 複素対数関数は、実数での対数関数が満たす恒等式を満たすとは限らないので注意が必要である。例えば、Log ez = z や Log (zw) = Log z + Log w は一般には成り立たない。 複素平面上での対数関数の主値 z = Re Log (x +iy) z = | Im Log (x +iy) | z = | Log (x +iy) | これらを重ね合わせた図
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