複素数による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/03/31 14:37 UTC 版)
時間領域における複素数の正弦波は、次のように表現される。 Y ( t ) = A e i ( ω t + α ) {\displaystyle Y(t)=Ae^{{\mathit {i}}\,(\omega t+\alpha )}} (1) ここで、 e {\displaystyle e} は自然対数の底(ネイピア数)、 i {\displaystyle {\mathit {i}}} は虚数単位、Aは振幅、 ω {\displaystyle \omega } は角周波数、 α {\displaystyle \alpha } は位相である。 オイラーの公式( e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle e^{{\mathit {i}}\,\theta }=\cos \theta +{\mathit {i}}\sin \theta } )より A e i ( ω t + α ) = A cos ( ω t + α ) + i A sin ( ω t + α ) {\displaystyle Ae^{{\mathit {i}}\,(\omega t+\alpha )}=A\cos(\omega t+\alpha )+{\mathit {i}}A\sin(\omega t+\alpha )} (2) が成り立つ。このように、式(1)の実部と虚部は実数の正弦波である。 式(2)は、複素平面上で時間tの経過とともに、原点を中心とする半径Aの円周上を等速で回転する。それを複素平面の実軸へ正射影したものは A cos ( ω t + α ) {\displaystyle A\cos(\omega t+\alpha )} であり、虚軸へ正射影したものは A sin ( ω t + α ) {\displaystyle A\sin(\omega t+\alpha )} である。
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