複素数による表現とは? わかりやすく解説

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複素数による表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/03/31 14:37 UTC 版)

位相」の記事における「複素数による表現」の解説

時間領域における複素数正弦波は、次のように表現される。 Y ( t ) = A e i ( ω t + α ) {\displaystyle Y(t)=Ae^{{\mathit {i}}\,(\omega t+\alpha )}} (1) ここで、 e {\displaystyle e} は自然対数の底ネイピア数)、 i {\displaystyle {\mathit {i}}} は虚数単位、Aは振幅、 ω {\displaystyle \omega } は角周波数、 α {\displaystyle \alpha } は位相である。 オイラーの公式e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle e^{{\mathit {i}}\,\theta }=\cos \theta +{\mathit {i}}\sin \theta } )より A e i ( ω t + α ) = A cos ⁡ ( ω t + α ) + i A sin ⁡ ( ω t + α ) {\displaystyle Ae^{{\mathit {i}}\,(\omega t+\alpha )}=A\cos(\omega t+\alpha )+{\mathit {i}}A\sin(\omega t+\alpha )} (2)成り立つ。このように、式(1)実部虚部実数正弦波である。 式(2)は、複素平面上で時間tの経過とともに原点中心とする半径Aの円周上を等速回転する。それを複素平面実軸正射影したものA cos ⁡ ( ω t + α ) {\displaystyle A\cos(\omega t+\alpha )} であり、虚軸正射影したものA sin ⁡ ( ω t + α ) {\displaystyle A\sin(\omega t+\alpha )} である。

※この「複素数による表現」の解説は、「位相」の解説の一部です。
「複素数による表現」を含む「位相」の記事については、「位相」の概要を参照ください。

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