複素数による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/21 08:42 UTC 版)
複素数による証明 △ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。 外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数をa,b,c,d,e,fとする。 x の共役複素数を x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} とすると A,B,C,Pは単位円上の点だから、 | a | = | b | = | c | = 1. {\displaystyle |a|=|b|=|c|=1.} …(1) PL と BC のなす角は直角だから、 ( d − 1 ) ( c ¯ − b ¯ ) + ( d ¯ − 1 ) ( c − b ) = 0. {\displaystyle (d-1)({\bar {c}}-{\bar {b}})+({\bar {d}}-1)(c-b)=0.} …(2) L,B,C は同一直線上にあるから、 ( d − b ) ( c ¯ − b ¯ ) − ( d ¯ − b ¯ ) ( c − b ) = 0. {\displaystyle (d-b)({\bar {c}}-{\bar {b}})-({\bar {d}}-{\bar {b}})(c-b)=0.} …(3) b b ¯ = c c ¯ = | b | 2 = | c | 2 = 1 {\displaystyle b{\bar {b}}=c{\bar {c}}=|b|^{2}=|c|^{2}=1} である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、 2 d = b + c − b c + 1. {\displaystyle 2d=b+c-bc+1.} 同様にして、 2 e = c + a − c a + 1 , 2 f = a + b − a b + 1. {\displaystyle 2e=c+a-ca+1,\ \ 2f=a+b-ab+1.} 次に ( e − d ) ( f ¯ − d ¯ ) − ( e ¯ − d ¯ ) ( f − d ) {\displaystyle (e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)} を求めると、 4 ( ( e − d ) ( f ¯ − d ¯ ) − ( e ¯ − d ¯ ) ( f − d ) ) = ( ( a ¯ b − a b ¯ ) ( | c | 2 − 1 ) + ( b ¯ c − b c ¯ ) ( | a | 2 − 1 ) + ( a c ¯ − c a ¯ ) ( | b | 2 − 1 ) + a ( | c | 2 − | b | 2 ) + b ( | a | 2 − | c | 2 ) + c ( | b | 2 − | a | 2 ) + a ¯ ( | b | 2 − | c | 2 ) + b ¯ ( | c | 2 − | a | 2 ) + c ¯ ( | a | 2 − | b | 2 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}4((e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d))&=(({\bar {a}}b-{\bar {ab}})(|c|^{2}-1)+({\bar {b}}c-{\bar {bc}})(|a|^{2}-1)+({\bar {ac}}-{\bar {ca}})(|b|^{2}-1)\\&\ +a(|c|^{2}-|b|^{2})+b(|a|^{2}-|c|^{2})+c(|b|^{2}-|a|^{2})\\&\ +{\bar {a}}(|b|^{2}-|c|^{2})+{\bar {b}}(|c|^{2}-|a|^{2})+{\bar {c}}(|a|^{2}-|b|^{2})).\end{aligned}}} となり、 | a | = | b | = | c | = 1 {\displaystyle |a|=|b|=|c|=1} だから ( e − d ) ( f ¯ − d ¯ ) − ( e ¯ − d ¯ ) ( f − d ) = 0 {\displaystyle (e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)=0} となって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.
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