シムソンの定理とは? わかりやすく解説

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シムソンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/12/19 08:06 UTC 版)

三角形 ABC のシムソン線
シムソン線(赤)は、スタイナーのデルトイド(青)に接する

幾何学におけるシムソンの定理とは、ABC外接円上の点 P から三角形の各辺 BC, CA, AB におろした垂線の足 L, N, M がすべて同一直線上にある(共線関係にある)という定理である。この直線のことをシムソン線シムソンライン)と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた[1]。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレス[2]である。

シムソン線の性質

  • 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
  • Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
  • 三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
  • 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
  • シムソン線による包絡線デルトイド内サイクロイドの一種)となる。このデルトイドをスタイナー(シュタイナー)のデルトイドという。
  • 三角形の外接円上に点Pをとる。ポンスレの閉形定理よりこの三角形と、内接円と外接円を共有する三角形は無数に存在するが、これらの三角形におけるPのシムソン線は、定点を通る。これをグリーンヒル-ディクソンの定理(Greenhill-Dixon theorem)という[3][4]。サー・ジョージ・グリーンヒル(Sir George Greenhill)とA. C. ディクソンの名を冠する[5]。後述の双心多角形におけるシムソン線でも同様に成立する[6]

証明

初等幾何による証明

初等幾何による証明
A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。

AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。

∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。 ∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある. ∠PAC<90度とする。

点A,P,N,Mは同一円周上にある。 A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから ∠PAM=∠PAC…①

直線BAに対してPとMは反対側にある。 Nは直線BA上の点だから 直線NAに対してPとMは反対側にあるから NとAは四角形APNMの対角点となるから ∠PAM+∠MNP=180度…②

点P,L,B,Nは同一円周上にある。 B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠CBP>90度だから 直線BAに対してLとCは反対側にあるから 直線BAに対してLとPは同じ側にある。

Nは直線BA上の点だから 直線BNに対してLとPは同じ側にあるから BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから ∠PNL=∠PBL…③

∠CBP>90度だから (B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度. ∠PAC+∠CBP=180度だから ∠PBL=∠PAC…④

①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。

したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.

複素数による証明





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