ポンスレの閉形定理とは？わかりやすく解説

$n = 3$ におけるポンスレの閉形定理。2円にそれぞれ内接、外接する三角形は無数にある。

幾何学において、ポンスレの閉形定理（ポンスレのへいけいていり、英: Poncelet's closure theorem, Poncelet's porism）または単にポンスレの定理^[1]^[2]は、二つの円錐曲線にそれぞれ外接（英語版）、内接する多角形が1つでも存在すれば、そのような多角形は無数に存在するという定理である^[3]^[4]。1746年、ウィリアム・チャップルが三角形の場合を証明し、1822年、ポンスレが一般の場合を解決した^[5]^[6]^[7]。

主張

$C,D$ を二つの円錐曲線とする。3以上の整数 $n$ について、あるn角形が $C$ に外接する（多角形の頂点すべてが $C$ 上にある）かつ $D$ に内接する（多角形の辺すべてが $D$ と接する）ならば、同様に $C$ に外接し $D$ に内接する $n$ 角形を無数に見つけることができる^[8]。 $C$ または $D$ 上の任意の点はそのような多角形の接点になり得る。

$C,D$ がともに円ならばこの多角形は双心多角形と呼ばれる。双心多角形は Poncelet's porism の一部である^[9]^{:p. 94}。

証明の概要

$C,D$ を複素射影平面（英語版） P²上の曲線として見る。簡単のため、 $C, D$ は単純な交点を持つとする（非特異で一般の位置（英語版）にある）。このときベズーの定理より $C, D$ の交点は4つ存在する。点 $c$ を通る $D$ の接線 $ℓ d$ の接点を $d$ 、 $(c, d)$ をもつ $C \times D$ の部分代数多様体を $X$ とする。 $c \in C \cap D$ ならば $d$ は1つ、でなければ2つ存在する。したがって、射影 $X \to C ≃ P 1$ により $X$ は、4点以上で分岐した位数2の自己同型で表される。つまり $X$ は楕円曲線である。 $(c, d)$ を同一座標上の点 $(c, d')$ へ移す $X$ の対合を $\sigma$ とする。不動点をもつ楕円曲線の対合は、群として、 $x \to p - x$ と表現されるので、 $\sigma$ もこの形式となる。同様に射影 $X \to D$ も、 $C, D$ の4つの共通接線と $D$ の接点で分岐した位数2の自己同型であり、対合 $\tau$ は $x \to q - x$ と一致する。したがって合成写像 $\tau \sigma$ は $X$ への変換を表す。 $\tau \sigma$ のべきが不動点を持つならば、そのべきはその不動点で恒等写像である必要がある。 $C, D$ に言い換えると、（対応する $d$ の存在する）ある点 $c \in C$ が閉じた軌道をつくる（つまり $n$ 角形を作る）ならば、すべての点が不動であるということである。 $C, D$ が退化した場合は極限を取ることで導かれる。

空間への拡張

1880年、フルヴィッツは次のように空間へ一般化した^[10]^[11]。

2つの空間三次曲線にそれぞれ内接・外接するような四面体が、2つでもあれば、そのような四面体は無数に存在する。

他に1901, 1904年にフォントネーに論じられ^[12]^[13]、1928年にフランツ・マイヤー（Franz Meyer）に双対を証明された、次のようなものもある^[14]。

与えられた空間三次曲線に内接し、二次曲面に外接する四面体は、一般に1つ存在し、2つ存在するならば、そのような四面体は無数に存在する。

フォントネーやブリカールは八面体や二十面体への拡張にも言及している^[15]^[16] 。

出典

^ 有賀, 雅雪「ポンスレの定理について」『大学院研究年報理工学研究科編』2013年7月1日、ISSN 1345-2428。
^ 小森, 洋平「ポンスレの定理について」『早稲田大学　教育・総合科学学術院　学術研究』2014年3月25日。
^ Arthur Holshouser; Stanislav Molchanov; Harold Reiter (2016). “Applying Poncelet’s Theorem to the Pentagon and the Pentagonal Star”. Forum Geometricorum 16: 141-149.
^ Arthur Holshouser; Stanislav Molchanov; Harold Reiter (2016). “A Special Case of Poncelet’s Problem”. Forum Geometricorum 16: 151–170.
^ Poncelet, Jean-Victor (1865) [1st. ed. 1822] (フランス語). Traité des propriétés projectives des figures; ouvrage utile à ceux qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain (2nd ed.). Paris: Gauthier-Villars. pp. 311-317
^ Del Centina, Andrea (2016), “Poncelet's porism: a long story of renewed discoveries, I”, Archive for History of Exact Sciences 70 (1): 1–122, doi:10.1007/s00407-015-0163-y, MR 3437893
^ Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001). “Euler's Forumla and Poncelet's Porism,”. Forum Geometricorum.
^ Mirko Radi´c (2004). “Extreme Areas of Triangles in Poncelet’s Closure Theorem”. Forum Geometricorum 4: 23–26.
^ Johnson, Roger A. (2013-01-08) (英語). Advanced Euclidean Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15498-5
^ Hurwitz, A. (1879). “Über unendlich vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere die Schließungsprobleme”. Mathematische Annalen 15: 8-15.
^ 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、85-94頁。NDLJP:1211458。
^ Fontené, G. (1901). “Tétraèdres variables liés à des quadriques et à des cubiques gauches” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 1: 10–14. ISSN 2400-4782.
^ Fontené, G. (1904). “Sur l'extension du théorème des polygones de Poncelet à l'espace, par des polyèdres de genre un” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 4: 433–439.
^ Meyer, Wilhelm Franz (1928). “Über ein Schließungsproblem des Raumes”. Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg 6: 352-374.
^ Fontené, G. (1904). “Tétraèdres, octaèdres, icosaèdres inscrits à une cubique gauche et circonscrits à une quadrique” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 4: 289–309.
^ Bricard, R. (1904). “Sur l'extension à l'espace du théorème de Poncelet” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 4: 554–558.

参考文献

Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. "Poncelet's closure theorem". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364.
King, Jonathan L. (1994). “Three problems in search of a measure”. Amer. Math. Monthly 101: 609–628. doi:10.2307/2974690.

外部リンク

David Speyer on Poncelet's Porism
D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics
Interactive applet by Michael Borcherds, 2円、 $n = 3, 4, 5, 6, 7, 8$ の場合のGeoGebraによる描画。
Interactive applet 楕円および放物線、 $n = 3$ の場合。
Interactive applet 2つの楕円、 $n = 3$ の場合。
Interactive applet 2つの楕円、 $n = 5$ の場合。
Interactive applet 2つの楕円、 $n = 6$ の場合。
Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] 有賀, 雅雪「ポンスレの定理について」『大学院研究年報理工学研究科編』2013年7月1日、ISSN 1345-2428。

[2] 小森, 洋平「ポンスレの定理について」『早稲田大学　教育・総合科学学術院　学術研究』2014年3月25日。

[3] Arthur Holshouser; Stanislav Molchanov; Harold Reiter (2016). “Applying Poncelet’s Theorem to the Pentagon and the Pentagonal Star”. Forum Geometricorum 16: 141-149.

[4] Arthur Holshouser; Stanislav Molchanov; Harold Reiter (2016). “A Special Case of Poncelet’s Problem”. Forum Geometricorum 16: 151–170.

[5] Poncelet, Jean-Victor (1865) [1st. ed. 1822] (フランス語). Traité des propriétés projectives des figures; ouvrage utile à ceux qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain (2nd ed.). Paris: Gauthier-Villars. pp. 311-317

[6] Del Centina, Andrea (2016), “Poncelet's porism: a long story of renewed discoveries, I”, Archive for History of Exact Sciences 70 (1): 1–122, doi:10.1007/s00407-015-0163-y, MR 3437893

[7] Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001). “Euler's Forumla and Poncelet's Porism,”. Forum Geometricorum.

[8] Mirko Radi´c (2004). “Extreme Areas of Triangles in Poncelet’s Closure Theorem”. Forum Geometricorum 4: 23–26.

[9] Johnson, Roger A. (2013-01-08) (英語). Advanced Euclidean Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15498-5

[10] Hurwitz, A. (1879). “Über unendlich vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere die Schließungsprobleme”. Mathematische Annalen 15: 8-15.

[11] 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、85-94頁。NDLJP:1211458。

[12] Fontené, G. (1901). “Tétraèdres variables liés à des quadriques et à des cubiques gauches” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 1: 10–14. ISSN 2400-4782.

[13] Fontené, G. (1904). “Sur l'extension du théorème des polygones de Poncelet à l'espace, par des polyèdres de genre un” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 4: 433–439.

[14] Meyer, Wilhelm Franz (1928). “Über ein Schließungsproblem des Raumes”. Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg 6: 352-374.

[15] Fontené, G. (1904). “Tétraèdres, octaèdres, icosaèdres inscrits à une cubique gauche et circonscrits à une quadrique” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 4: 289–309.

[16] Bricard, R. (1904). “Sur l'extension à l'espace du théorème de Poncelet” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 4: 554–558.

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