ポンスレの閉形定理

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ポンスレの閉形定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/31 15:27 UTC 版)

n = 3におけるポンスレの閉形定理。2円にそれぞれ内接、外接する三角形は無数にある。

幾何学において、ポンスレの閉形定理（ポンスレのへいけいていり、英: Poncelet's closure theorem, Poncelet's porism）または単にポンスレの定理は、二つの円錐曲線にそれぞれ外接、 内接する多角形が1つでも存在すれば、そのような多角形は無数に存在するという定理である。1746年、ウィリアム・チャップル が三角形の場合を証明し、1822年、ポンスレが一般の場合を解決した。

主張

C,Dを二つの円錐曲線とする。3以上の整数nについて、あるn角形がCに外接する（多角形の頂点すべてがC上にある）かつDに内接する（多角形の辺すべてがDと接する）ならば、同様にCに外接しDに内接するn角形を無数に見つけることができる。CまたはD上の任意の点はそのような多角形の接点になり得る。

C,Dがともに円ならばこの多角形は双心多角形と呼ばれる。双心多角形はPoncelet's porismの一部である。

証明の概要

C,Dを複素射影平面 P²上の曲線として見る。簡単のため、C,Dは単純な交点を持つとする（非特異で一般の位置にある）。このときベズーの定理よりC,Dの交点は4つ存在する。点cを通るDの接線ℓ_dの接点をd、(c,d)をもつC×Dの部分代数多様体をXをとする。c∈C∩Dならばdは1つ、でなければ2つ存在する。したがって射影X → C ≃ P¹は、Xを4点以上で分岐した位数2の自己同型で表す。つまりXは楕円曲線である。 (c,d)を同一座標上の点(c,d' )へ移すXの対合を $\sigma$