群作用とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > 群作用の意味・解説 

群作用

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/09/05 09:05 UTC 版)

正三角形が与えられたとき、三角形の重心を中心とする反時計回りの 120° 回転は、三角形の各頂点を別な頂点に移す写像として三角形の頂点集合の上に作用する。

数学における群作用(ぐんさよう、: group action)は、を用いて対象の対称性を記述する方法である。

導入

物体の本質的な要素を集合によって表し、物体の対称性をその集合上の対称性の群英語版(その集合の全単射変換からなる群)によって記述するとき、この群は(特に集合が有限集合であるとき)置換群 (permutation group) あるいは(特に集合がベクトル空間で、群作用が線型変換などであるとき)変換群 (transformation group) と呼ばれる。

群作用は、群の各元がある集合上の全単射な変換(対称変換)の如く「作用」するけれども、それがそのような変換と同一視される必要は無いという点において、対称性の群英語版の柔軟な一般化となっている。これにより、物体の対称性のより包括的な記述が可能になる。これはたとえば多面体に対して、その頂点全体の成す集合、全体の成す集合、の成す集合といったいくつかの異なる集合に同じ群を作用させることによって得られる。

G が群で X が集合であるとき、群作用は G から X対称群への群準同型として定義することができる。この作用は群 G の各元に対して X置換を以下のように割り当てる。

  • G単位元に対応する X 上の置換は、X 上の恒等変換である。
  • G におけるふたつの元の積 gh に対応する X 上の置換は、g および h にそれぞれ対応する置換の合成である。

ここでは G の各元が置換として表現されているので、このような群作用は群の置換表現 (permutation representation) としても知られる。

群作用を考えることによって得られる抽象化は、幾何学的な考え方をより抽象的な対象にも応用できるという面で非常に強力である。多くの数学的対象はその上で定義される自然な群作用というものを持っており、特に群は別な群や自分自身への群作用を考えることができる。このような一般性を持つにもかかわらず、群作用の理論は(軌道-安定化群定理 (orbit stabilizer theorem) のような)適用範囲の広い定理を含み、さまざまな分野での深い結果を示すのに用いられる。

定義

GX を集合とするとき、GX への左群作用 (left group action) とは、外部二項演算

In the compound of five tetrahedra, the symmetry group is the (rotational) icosahedral group I of order 60, while the stabilizer of a single chosen tetrahedron is the (rotational) tetrahedral group T of order 12, and the orbit space I/T (of order 60/12 = 5) is naturally identified with the 5 tetrahedra – the coset gT corresponds to which tetrahedron g sends the chosen tetrahedron to.

G が集合 X に作用しているとき、X の点 x軌道 (orbit) とは、G の各元を x に作用させた要素の集合である。x の軌道を Gx で表せば、

この項目「群作用」は途中まで翻訳されたものです。(原文:en:Group action 12:01, 15 August 2010)
翻訳作業に協力して下さる方を求めています。ノートページや履歴、翻訳のガイドラインも参照してください。要約欄への翻訳情報の記入をお忘れなく。2010年8月



英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「群作用」の関連用語










10
32% |||||

群作用のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



群作用のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの群作用 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS